複素数平面

サイト全体を見たいときはサイトマップをご覧ください。

目次

１．一つの複素数を平面で表現する

数Ⅲで今後使用頻度が高くて、かつとっつきにくい分野は複素数平面でしょう。ベクトルや三角関数が利用されているので、この二分野が苦手だと苦労するかもしれません。逆に、これらの分野が利用されているので有用性が高いとも言えます。

複素数は数Ⅱで登場しています。二乗して-1になる数を新たに定義する必要があって、i2=-1を満たす数i(虚数単位）を導入した結果、実部と虚部を持つ複素数が定義されたのでした（25/07/19時点で未作成）。複素数は「a+bi」（aが実部でbが虚部）の形で、aとbiの二つの部分にわかれています。一つの複素数が融合不能な二つの部分をもつので、二つの軸を持つ平面で一つの複素数を表現しよう、というのが複素数平面の意味です。実数軸を横軸、虚数軸を縦軸にとって、a+biの実部の値aと虚部の値bを取り出して平面上の点として、一つの複素数を表します。たとえばA=3+4i、B=-2-2iの二つの複素数は図１のように、複素数平面上の点A、点Bとして表現されます。二つの軸方向の値、A=3+4iなら3と4を取り出してA(3, 4)と書けば平面ベクトルとして考えることもできます。

２．共役複素数と複素数の絶対値

ここで共役複素数と、複素数の絶対値（大きさ）の語を導入しておきます。共役複素数は元の複素数の虚部の値を正負逆にしたものです。A=3+4iの共役複素数はAバー=3-4iです。二次方程式の二つの虚数解は共役複素数の関係にあります。共役複素数は図2のようなx軸対称の関係となっています。

もう一つの絶対値は、その複素数の原点からの距離にあたります（図3）。

三平方の定理を使って、A=3+4iの絶対値|A|なら下のように計算できます。

\begin{align} A=3+4iのとき\\ |A|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5 \end{align}

３．複素数の足し算と引き算

ページの最後に複素数の足し算と引き算を示しておきます。複素数においても掛け算と割り算の方がはるかに難しいので、こちらは次ページで示します。複素数の足し算と引き算に関しては、ベクトルと同じように実軸と虚軸で別個計算すればよいです。複素数A=3+4i、C=2+iの足し算と引き算は下のように計算できます。

\begin{align} A=3+4i、C=2+i\\ A+C=(3+4i)+(2+i)\\ =(3+2)+(4+1)i\\ =5+5i\\ A-C=(3+4i)-(2+i)\\ =(3-2)+(4-1)i\\ =1+3i\\ \end{align}

A+C=D、A-C=Eとおくと、図4のようになります。点Dを見ると、OAとOCをもとに作られる平行四辺形の対角線になっていて、ベクトルの計算と同様の結果になっているのがわかります。

ページトップ

複素数の極形式 >>

ホーム » ページ 4

現代民主主義の課題

サイト全体を見たいときはサイトマップをご覧ください。

目次

現代民主主義を単純には定義できないことを以前のページで書きました。しかし民主主義を理想に近づけるための課題ははっきりしています。

１．民主主義のおさらい

まずは民主主義のおさらいからいきましょう。古代ギリシアの民主主義では、市民が直接民会に参加し議論を交わして政策を決定しました。現代において議会に市民が直接関与することはできませんが、市民が議論を交わして合意形成の努力を行うことを、民主主義に必須な要素として取り出せます。他方、議会には参加できなくても、市民が自分たちの生活のための活動を共同して行うことは可能で、トクヴィルはそういったアメリカ市民社会の特性に民主主義の理念を見出したのでした。

現代の民主主義は代議制民主主義で、市民が選挙で投票を行う形で政治に参加します。議会で議論は交わすのですが、最終的には多数決で決めることも多いです。それが単純に悪いわけではないですが、多数派による専制の危険性を多分にはらみます。議会制民主主義がよいとするには前提があって、市民が今の生活を成り立たせたであろう「公共なるもの」にとって一番よいと思う選択肢を選ぶこと（共和政の考えに近い）が必要です。以上より、民主政と共和政のよい意味での融合が、理想の民主主義には必要と言えます。

２．現代民主主義の課題

民主主義の課題はざっと以下のようにまとめられます。

  1. 異なる考えの人たちの間でも議論を交わし、できるだけ合意形成の努力を行う制度を整えること。
  2. 市民が直接、公共の活動に参加し、その活動が政治と関連をもつような仕組みを整えること。
  3. 市民が「公共なるもの」という抽象概念に超越性を投射し、そのための選択をするという理念が共有されること。

上の三つのうち２番に関しては問題ないでしょう。すでに地方自治体では、住民が自主的に活動し、自治体との連携をとって活動を続けていること、または住民からの働きかけで自治体の施策を調整することが始まっているようです。逆に自治体から住民活動へ働きかける場合もあるでしょう。１に関してはそもそも議会が議論を交わして合意形成するための場なので、制度としてはあるわけです。問題はその機能不全が明らかになっていることで、議論を機能させるための理念が市民にも、その代表たる議員にも共有されていないために機能不全が起こっているのでしょう。結局、３の理念に関する事項が根源の問題としてあるといえます。

３．時事問題で考える

注：ここからは自分の「意見」が多分に含まれることを断っておきます。

これで課題ははっきりしましたが、理念を共有するという途方もない難題が現われてしまいました。この課題についてはいったん後回しにして、2025年7月の参議院選挙直前の状況を、民主主義の危機の視点から見てみましょう。

やはり参政党の「日本人ファースト」を考えるのがよいでしょう。日本という国で「日本人ファースト」でないとはとても考えられません（在日米軍は置いておきます）。「日本人ファースト」という言葉が一人歩きして、参政党の主張が見えなくなっています。参政党が非難される理由は、明らかに事実と異なることを事実として主張しているためです。そしてその主張の底に排外主義や（悪い意味での）ポピュリズムが透けて見えるからです。

しかし参政党を支持する人を非難したり馬鹿にすることはしてはいけません。参政党を支持する人も非難する人も、解決すべきと考えていることはほとんど変わりはありません。今の日本の閉塞状況に対して、参政党を支持する人たちは、（広義の）外国資本による買収が原因と考え、非難する人たちは、日本内部に隠されていた弱者への不寛容により引き起こされたと考えています。異なっているのは、比較的確認とすり合わせが容易なはずの事実認識の方です。要因には自然科学や工学に対する不信が根底にあるかもしれません。しかしそうだとして、事実認識の共有を行うには対話や議論が必要であり、それを提供し事態の改善に結び付けるのが政治の役割と思われます。抽象的な理念の共有はできなくても、対話と議論の場を用意し、事実認識の共有を進めることは可能です。より実現可能、実行可能な施策から実施すればよいだけです。

ページトップ

<< 近代の民主主義　左翼、保守、右翼の簡略的な定義 >>

ホーム » ページ 4

定積分を用いた面積の計算

サイト全体を見たいときはサイトマップをご覧ください。

目次

１．定積分を用いた面積の計算

前回の内容は定積分の計算が（ほぼ）面積の計算にあたることを示しました。実際に面積を計算するにはいくつかの注意点があります。定積分の式∫ab f(x)dxでf(x)の値が負のとき、f(x)dxは負の値になって、正の部分と打ち消したりして、定積分の計算結果が面積と異なってしまいます。そのため面積の計算の場合にはf(x)が正の範囲と負の範囲のどちらかになっているかで処理を変えないといけません。図1のような場合、f(x)、x軸、x=a、x=bで区切られた部分の面積（斜線部分の面積）は、途中のx=cのところで区切って、下の式となります。

\begin{align} \int_{a}^{c} f(x) dx ~- \int_{c}^{b} f(x) dx \end{align}

積分範囲がcからbまでのところではf(x)<0より、定積分の値は面積に-1をかけた値となっているので、さらに-1をかけて正にしてやればよいです。

２．二つの関数に囲まれた部分の面積

また関数f(x)とg(x)で囲まれた部分の面積は、f(x)-g(x)の値を積分した次の計算で求めることができます（図2）。

\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) dx ~- \int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{b} (f(x) – g(x)) dx \end{align}

代入して計算することの面倒くささを考えれば、f(x)-g(x)を先に計算しておいた方が計算が楽です。

それから上でf(x)が負のときの面積計算の注意点を述べましたが、f(x)とg(x)で囲まれた部分の面積は、正負ではなく上下関係で処理が変わってきます。f(x)とg(x)が共に負の場合について、図3を例に考えてみます。

図3のように、f(x)とg(x)に十分な大きさの定数kを与えると、f(x)+kとg(x)+k共に正の値をもちます。この新しい関数で囲まれた部分の面積は、もとのf(x)とg(x)に囲まれた部分の面積と変わらないので、こっちの方を計算してみます。すると下のように、適当に与えたkが打ち消して積分計算はもとの関数f(x)とg(x)の場合とまったく変わりません。

\begin{align} \int_{a}^{b} \{(f(x) + k) – (g(x) + k)\} dx = \int_{a}^{b} (f(x) – g(x)) dx \end{align}

こういったことから、二つの関数で囲まれた部分の面積は、正負ではなく上下関係で考えればよいことになります。たとえば図4のような場合は、積分範囲aからbまではf(x)が上でg(x)が下、bからcまではg(x)が上でf(x)が下なので、面積計算は下の式になります。

\begin{align} 図４におけるf(x)とg(x)に囲まれた部分の面積\\ \int_{a}^{b} (f(x) dx – g(x)) dx ~- \int_{b}^{c} (g(x) – f(x)) dx \end{align}

３．面積計算の具体例

具体例を一題解いてみます。問題は「y=f(x)=x2-4x-2とy=g(x)=-x2+6x-10で囲まれた部分の面積を求めよ。」です。f(x)が下に凸、g(x)が上に凸なので、図5のような概形になるはずです。

二次関数によって接するとか交点がないとかもあり得るんですが、ここでは二つの交点で交わっているとして考えます。そうするとf(x)とg(x)の交点のx座標を求めて、その積分範囲で{g(x)-f(x)}を定積分すれば面積が求まりそうです。問題を解くと下のようになります。

\begin{align} f(x)とg(x)の連立方程式を解いて交点のx座標を求める。\\ \begin{cases} y=x^2-4x-2 \cdots①\\ y=-x^2+6x-10 \cdots② \end{cases}\\ ①-②より0=2x^2-10x+8\\ x^2-5x+4=0\\ (x-1)(x-4)=0\\よってx=1，4\\ したがってf(x)とg(x)で囲まれた面積は\\ \int_1^4 (g(x)-f(x))dx=\int_1^4 \{(-x^2+6x-10)-(x^2-4x-2)\}dx\\ =\int_1^4 (-2x^2+10x+8)dx\\ =-2\int_1^4 (x^2-5x-4)dx\\ =-2[\frac{1}{3}x^3-\frac{5}{2}x^2-4x]_1^4\\ =-2\{(\frac{1}{3} \cdot 4^3-\frac{5}{2} \cdot 4^2-4^2)-(\frac{1}{3}-\frac{5}{2}-4)\}\\ =-2\{(-\frac{13}{6} \cdot 4^2)-(-\frac{37}{6})\}\\ =\frac{13 \cdot 4^2}{3}-\frac{37}{3}\\ =\frac{171}{3}=57 \end{align}
ページトップ

<< 定積分が表すもの

ホーム » ページ 4

佐藤俊樹『近代・組織・資本主義』書評と要約

サイト全体を見たいときはサイトマップをご覧ください。

目次

１．評価

評価：

マックス・ウェーバーを敷衍しながら、近代社会成立の体系的な説明を試みた社会システム論の本です。壮大な内容の本で、当然わかりやすい本ではまったくないです。文章自体は読みやすいですが、読んでるうちに筋道がわからなくなってきたりします。私の能力不足だけじゃなくて、理論の体系化のところで接続が上手くいってない気はします。

本の構成はⅠ部とⅡ部で大きく分かれていて、Ⅰ部が西欧近代社会の成立についてで、Ⅱ部が日本の近代の成立についてです。個人的な関心からⅡ部の方はあまり興味を引かれませんでした。別に内容が希薄とかではまったくないですが、戦後の日本の分析から現代日本社会（93年発売当初）の変容の予測あたりまではおまけ感があります。

本格的な社会システム論の本であり、最後まで読み切れるという時点で間違いなく良書です。ただし、体系化のところで理論的に不備があるんじゃないかという疑問と最後のおまけ感とで、評価は若干落として3.5にしました。

下にⅠ部とⅡ部ごとにざっとこんな内容という形で要約を上げておきます。

２．各部ごとのまとめ

２．１　第Ⅰ部　近代の「起源」へ

マックス・ウェーバーの考え方では、近代資本主義誕生で重要なのはプロテスタンティズムの合理性です。しかし、実際に近代資本主義を生み出したのは合理性そのものではなくて、組織の合理性と個人の合理性を分離して併存可能とした、社会に広く共有される精神構造の方です。プロテスタンティズムは原罪とその罪を帰着させる自由意思の概念を生み出し、個人が自由意思によって経営体の合理性にしたがうという形式をとります。このことで組織と個人とが原理的に分離、独立して併存するという近代組織を可能にしました。

アメリカ植民地社会では、自由意思により自発的につどう、という性質を持ったゼクテと呼ばれる組織が成立します。ゼクテにおいて、個人をその外部におくことで社会の神の法への無限漸近運動が成立します。そしてゼクテの組織形態から、植民「会社」をもとに、規則によって規則を作る形式合理的な法システムをもち、会社に法人格が与えられたアメリカ植民地社会が作り出されます。

ピューリタン社会では、社会契約論的に自由な個人が契約によって社会を作り出す、という考え方が社会全体で共有された結果、制度の無限更新運動がその内部に引き起こされます。近代も制度の無限更新運動という特徴を持っていて、ピューリタン社会の「個人の自由」がもとになっています。ピューリタン社会では神の存在が前提になっていましたが、近代社会は進歩の観念を利用することで社会秩序の自発的な変更を可能にしています。一度成立してしまえば近代の方が優位なので、近代社会が再帰的に成立することになります。

２．２　第Ⅱ部　日本的近代の地平

近世武士は「意地」と「法」の二重基準の中で生きていました。「法」はあくまで主君個人の命令であり、日本の個人ではその自由から社会を導出する経路が存在しません。江戸時代では拡大路線がとれなくなり、個人の自由は人と人の関係によって整流されたり制度によって制御されることで、社会秩序との接続が維持される状態でした。日本では社会の無根拠性が人々の意識の中で信じられていたので、以前の社会制度を簡単に捨てて当時の西欧の制度技術をとりいれることが可能でした。

もともと日本には個人の自由の観念があったのですが、日本近代における個人の自由は選択する主体としての自由といったものではなく、快楽や欲望に従う自由という形をとりました。このように個人の自由が欲望の自由とされた結果、自由のうちに秩序性の根拠をおくことが不能となりました。こうして社会の根拠を個人以外のところに探すことになり、次の四つのタイプの社会形態として出現しました。「欲望自由主義」（α）、「法の社会工学」（β）、「心情の政治学」（γ）、「超共同体論」（δ）の四つです。基本はβ型で、これらは江戸時代にすでに用意されていました。工学的機構の根拠を持たないため、心情の政治学と特異点としての天皇が必要とされました。

第二次大戦後、アメリカの庇護下、軍備の浪費を免れたおかげで日本経済は復興を遂げます。日本の戦後社会は市民軍を持つに必要な理念も、軍隊を否定するのに必要な理念ももたないまま、経済発展のおかげで欲望自由主義社会が確立されます。しかし石油ショックをもとにする断続的な不況などもあり、欲望自由主義は曲がり角を迎え「間人主義」が広く浸透します。これらはいずれも日本近世の社会形態をもとにしています。現在でも、我々は個人と社会の形式を模索し続けています。

３．追記および広告

上の第Ⅰ部要約をさらにまとめると下のようになりそうです。

原罪と自由意思の概念の発明から、組織の合理性と個人の合理性の分離と併存が可能になり、自由な個人が契約によって社会を作り出す、という考え方が社会全体で共有される。その結果社会制度の無限更新運動がその内部に引き起こされることになる。近代社会では、ピューリタン社会の神の存在に代わって、進歩の観念を利用することで、社会秩序の自発的な変更が可能となっている。近代社会成立にはピューリタン社会が必要であったが、一度成立してしまえば近代の方が優位なので、近代社会が再帰的に成立することになる。

このまとめだとピューリタン社会から近代社会が生まれるところとか、いろいろと抜けています。そこがちゃんと書かれていたかどうか、もはや自分ではよくわからなくなってます。書かれているんだけど自分では整理しきれない、の方が適切ですかね。そこはもうご自分でご確認ください、ということで下に楽天広告を貼っておきます。

下は楽天アフィリエイト広告です。

近代・組織・資本主義 日本と西欧における近代の地平／佐藤俊樹【1000円以上送料無料】

価格:4400円
(2025/6/22 15:59時点)
感想(0件)

ページトップ

<< 今井むつみ・秋田喜美『言葉の本質』書評と要約　竹田青磁『現象学入門』書評と要約 >>

<< 書評トップページ

ホーム » ページ 4

定積分が表すもの

サイト全体を見たいときはサイトマップをご覧ください。

目次

１．定積分が表すもの

前回は定積分の計算についてでした。今回は、後回しにしていた、定積分が何を表すのかについてです。結論を言うと、定積分の値は、積分関数、x軸、積分範囲に囲まれた面積を表します（面積計算に関する注意点は次回）。定積分の式を見ながら意味を考えてみます。

\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) dx \end{align}

積分記号∫（インテグラル）は合計sumのsから取られた記号だそうです。なので定積分の式は、積分範囲aからbまで、関数f(x)に微小なxの量dxをかけたものを足し合わせますよ、という意味です。図1のように、f(x)dxは細長い長方形の面積であり、これをaからbまでの範囲で足し合わせれば、f(x)、x軸、積分範囲のx=a、x=bで囲まれた面積とよく似た値になってくれそうです。ここでdxの値をどんどん狭めていけば、ほぼ面積と一致してくれると期待できます。このように考えれば定積分が面積の近似式になっていることは、問題なく理解できると思います。

問題はこの計算が関数f(x)の不定積分を使って計算できる、ということの理解が難しいことです。不定積分は微分の逆操作なので、その関数を積分して面積が得られるということは、面積の微分がその関数になっているということでもあります。このあたりの事情を感覚的に理解できればよいのですが、普通の人間では無理です（数学者は感覚的にわかるんだろうか？）。証明は大学レベルの数学が必要なのでここでは省略させてもらいます。数学では、感覚的によくわからない、人が考えても見つけられない関係でも、正当な手続きで得ているならば、自明なものとして使えます。このことによって多様な分野で利用されているのであり、それをよく示してくれている事例です。数学に興味のある方は微分積分の入門書レベルの本を読んでみるとよいと思います。ひとまず高校数学では定積分の式が何を示しているか知っておけば問題ありません。

２．面積を定積分で求める

ここでは定積分の計算と図形的に計算した面積とが一致することを確認して終わりにします。図２の色部分の面積は、下の長方形と上の三角形にわければ簡単に6という値が求められます。定積分の計算をすると下のように6になって一致します。

\begin{align} \int_{0}^{2} (2x+1) dx = [x^2 + x]_0^2\\ (2^2+2)-0=6 \end{align}
トップページ

<< 定積分の計算　定積分を用いた面積の計算 >>

ホーム » ページ 4

Older posts
Newer posts