数列の和 - 趣味で学問

数列の和

数列の和の方がわかっているときに、その数列の一般項を求めることができます。初項から第n項までの和をSnとすると、n-1項までの和はSn-1と書けます。n-1項までの和がSn-1なので、それに第n項anを足せばSnになります。式で書けばSn-1+an=Snです。移項して式変形すればSn-Sn-1=anです。あたりまえと言えばあたりまえですが、この公式でSnからanを求めることができます。ただし注意点があって、式の中にn-1項の部分があって、第1項から始まるという条件からn-1が1以上、つまりnが2以上という条件がつきます。まとめると公式は次のものです。

\begin{align} n≧2のとき\\ S_n-S_{n-1}=a_n \end{align}

第1項のa1についてはanを求めたあとで、その式から求めたa1が適切であるか確認しないといけません。S1は初項だけの和?なのでa1でもあります。Snがわかっている場合はS1=a1が定められた値なので、求めたa1とS1が一致するか確認する必要があります。

実際に問題を一題やってみましょう。Sn=n2-3nのときanを求めるとします。解答は下のようになります。

\begin{align} n≧2のときS_n-S_{n-1}=n^2-3n-\{(n-1)^2-3(n-1)\}\\ =n^2-3n-(n^2-2n+1-3n+3)\\ =n^2-3n-(n^2-5n+4)\\ =2n-4=a_n\\ S_1=1^2-3\cdot1=-2、2\cdot1-4=-2と一致することより\\ a_n=2n-4 \end{align}

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むつきさっち

物理と数学が苦手な工学博士。 機械翻訳で博士を取ったので一応人工知能研究者。研究過程で蒐集した知識をまとめていきます。紹介するのはたぶんほとんど文系分野。 でも物理と数学も入門を書く予定。いつの日か。

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