微分係数

最も利用されている数学分野の一つが微分積分です。微分と積分は逆操作の関係にあり、微分の方がはるかに計算しやすいので微分から学ぶのが普通です。微分は関数全体の概形がわかっているときに、局所的な傾きを取り出す操作であると思ってもらってよいです。全体から部分を取り出すので、部分から全体を推測する積分よりはるかに簡単なのは納得がいきます。

「微分する」というのは関数の導関数を求めることなんですが、まずはそのもととなる微分係数から説明します。微分係数は、その関数のある点における接線の傾きを近似的に表現したものです。最初に定義式を書いておきます。

\begin{align} 関数f(x)においてx=aのときの微分係数f'(a)は\\ f'(a)=\lim_{b \to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdots①\\ または\\ f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\cdots② \end{align}

①と②の式は少し形が違うだけで意味は同じです。ここでは①の方で式の意味を説明します。まず(f(b)-f(a))/(b-a)は中学で出てきた変化の割合です。図1(a)のように点Aと点Bを結んだ線分の傾きにあたります。

ここで初めて出てきたlim_b→aは、bを限りなくaに近づけるけどaと一致はしませんよ、ということを意味しています。bをaに近づけていくと図1(b)のように二点AB間の距離が縮まっていきます。そしてbがaのすぐ近くまで来ると、ほぼ点Aにおける接線と見分けがつかなくなります。というわけで、f'(a)はx=aのときの関数f(x)の接線の傾きを意味しています。②の方は二点間の幅b-aをhに置きかえたもので、図2のようになります。①と②どちらの定義式を使ってもらってもかまわないですが、どちらかというと②の方がよく使われます。