同一直線上の三点のベクトル表現

１．平面上の3点が同一直線上にある場合のベクトル表現

前回平面上の位置ベクトルについて書きました。引き続き平面上でのベクトルの話です。今回は平面上の3点が同一直線上にある場合です。

図１のようにA、C、Bの順に平面上で並んでいるとき、これを位置ベクトルを使ってどう表現できるか考えてみます。

位置ベクトルなので始点が大事ということで、まずは始点をAでとってみましょう。そうするとACベクトルはABベクトルを実数倍したものなので、

\begin{align} \overrightarrow{AC}=t\overrightarrow{AB} \end{align}

と表現できます。この表記の仕方が3点が直線上にあるときの基本的な表現です。図1だと線分AB上に点Cがあるときのみに見えるかもしれませんが、tの値を変えることで点CがA点の左にある場合（t<0）やB点の右にある場合（t>1)も表現できます。

２．始点Oの場合のベクトル表現

図１で始点をOに変えることで（図２）、下の二つの表現が出てきます。

\begin{align} \overrightarrow{OC}=(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}…②\\ \overrightarrow{OC}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}~~(s+t=1)…③\\ \end{align}

②式は①式を始点Oに変えることででてきます。

\begin{align} \overrightarrow{AC}=t\overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=t(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\\ \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}-t\overrightarrow{OA}\\ \overrightarrow{OC}=(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\\ \end{align}

(1-t)+t=1になっていて、線分ABをt:1-tに内分・外分する点Cの式でもあります。

③式は②式の1-tをsに変えたものです。三つの式のどれを使えばよいかは問題次第です。わからないときは基本の①で式を立てるとよいでしょう。

３．三点を通る線分のベクトル表現

またtの値に範囲を与えることで、①②③式と同じ式で線分ACも表現できます。

\begin{align} \overrightarrow{AC}=t\overrightarrow{AB}~(0 \leq t \leq 1)\\ \overrightarrow{OC}=(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}~(0 \leq t \leq 1)\\ \overrightarrow{OC}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}~~(s+t=1,s\geq 0, t \geq 0)\\ \end{align}

昔から高校数学でよく出てくる、線分上に点があるときの表記の仕方を使った問題があるので、後で問題を解いてみようと思います。

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