空間ベクトル

１．三次元への拡張

ここまで平面のベクトルを考えてきました。今度は三次元空間に拡張してみましょう。三次元にベクトルを拡張して何が変わるかというと、次元が一つ増えたために成分が一つ増えるだけで、他はほとんど変わりありません。ベクトルの計算法則はそのままですし、ベクトルの内積や大きさも、成分が一つ増えただけで計算の仕方はそのままです。

ここでは空間ベクトルの成分表示だけ紹介しておきます。空間ベクトルでも単位ベクトルex=(1, 0, 0)、ey=(0, 1, 0)、ez=(0, 0, 1)を考えて、

\begin{align} \overrightarrow{a}=a_1\overrightarrow{e_x}+a_2\overrightarrow{e_y}+a_3\overrightarrow{e_z}\\ =(a1, a2, a3) \end{align}

というふうに表現できます（図１）。aベクトルの大きさは三平方の定理を用いて

\begin{align} \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \end{align}

です。

上で三次元で説明しましたが、実は四次元以上でも全く同様の定義で考えることができます。もちろん四次元以上の空間など想像することもできないのですが、計算法則とか内積の意味とかは変わらないので、わりと普通に利用されていたりします。後のページで機械翻訳での利用の仕方をちょっとだけ紹介したいと思います。

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