二元一次方程式と一次関数 - 趣味で学問

二元一次方程式と一次関数

まず2x-y=-1…(1)という式を見てください。これは等号を使った等式で、方程式または関数として見ることができます。左辺の2xを右辺に移項して両辺に-1をかけるとy=2x+1…(1)’という形になって、一次関数の形になります。方程式はその式を満たす値を見つけることが目的で、関数は変数間の関係を示すことが主な目的として使われます。この式を満たすxとyは一義に決まらないので、ここでは関数として見てみましょう。

y=2x+1は傾き2、切片+1の一次関数です。この一次関数をグラフで示す、つまりxy座標系にこの式の関係を満たす点(座標)を打っていくと、図1のような直線になります。

逆に言うと、この直線上の点の座標は、この直線の式y=2x+1の等式を満たしています。試しに直線上の点A(x,y)=(1,3)の値を式に代入してみると

\begin{align} 3=2\times1+1\\ 3=3 \end{align}

右辺も左辺も同じ3になって(1)’の等式を満たしています。直線上の点なら整数じゃなくてもよくて、点B(-5/4,-3/2)を式に代入すると

\begin{align} -\frac{3}{2}=2\times(-\frac{5}{4})+1\\ =-\frac{5}{2}+1\\ =-\frac{3}{2} \end{align}

で左辺と右辺ともに-3/2となり等式になっています。今度は直線上にない点C(1,-1)を代入してみます。

\begin{align} -1=2\times1+1\\ =3 \end{align}

となって左辺は-1で右辺が3となり、-1=3という矛盾した式になってしまいました。こんなふうに、一次関数の式を満たすx, yの組を座標に書き込むと直線になって、逆にその直線上の点の座標だけが元の等式を満たしていると考えることができます。ここで最初に戻って、(1)’式(一次関数)と(1)式(二元一次方程式)を同じ式とみなすと、(1)式の方程式の解はこの等式を満たすxとyの組なので、その解は「関数y=2x+1(直線)上の点の座標すべて」になります。

以上の内容が「直線と直線の交点の座標を連立方程式の解として求めること」につながっていきます。

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むつきさっち

物理と数学が苦手な工学博士。 機械翻訳で博士を取ったので一応人工知能研究者。研究過程で蒐集した知識をまとめていきます。紹介するのはたぶんほとんど文系分野。 でも物理と数学も入門を書く予定。いつの日か。

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