指数関数

指数法則の拡張ができたので、次は指数関数についてです。この関数は自然界の法則との対応性が高いため、いろいろなところで使われています。指数関数はy=a^xの形の関数で、a>0かつa≠1と定義されています。関数なのでグラフの形状が重要で、大きくわけて二つの形に分かれます。先に大まかな形を示すと、a>1のとき図1(a)、0<a<1のとき図1(b)となります。

まずa>1の場合について、y=2^xの具体例で考えます。関数なのでxとyの関係式であり、xがある値に決まるとyも決まります。代表的な値でxとyの関係を表にしてみます。

0乗は1と決められているので、どの指数関数でもx=0のときy=1となります。xの値を1、2、3と大きくするとyの値は2、4、8と急激に大きくなっていきます。逆に-1、-2、-3と小さくすると1/2、1/4、1/8と急激に小さくなって、0に近づいていきます。y=2^xのグラフは図2のようになります。

0<a<1のときは図1の(a)と(b)の関係のように、a>1のときの形をy軸に関して反転させたような形になっています。たとえばy=(1/2)^xの関数であれば、a=1/2で0<a<1の範囲にあるので図3の形となります。aの範囲からこの形状を判断してもよいですし、y=(1/2)^x=2^-xに式変形してy=2^xのy軸対象のグラフと考えてもよいです。

最後に注意点として、指数xの値は実数であることをあげておきます。指数法則は有理数まで拡張したのでした。無理数も無限小数でしか表せないと言えどやはり具体的な数であるので、指数関数ではxの定義域が無理数でも考えることが可能です。そのときの計算とかどうするかは私ではよくわからなくて、とりあえず初年度の大学数学までは有理数のときの計算ができれば問題ないです。

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