導関数 - 趣味で学問

導関数

関数f(x)のx=aにおける微分係数をf'(a)と表記しました。これは特定のx座標aにおける微分係数なので、もとの変数xで表記しておいてその都度x座標に特定の値を入れればよい、と考えたものが導関数です。実質、微分係数と導関数は同じものと言ってよいです。そして導関数f'(x)を求めることを、微分すると言います。導関数の定義式は微分係数とほぼ同じで、下のものとなります。

\begin{align} f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{align}

導関数は上の式を使って求めればよいですが、毎回これを計算するのは大変です。したがって、あらかじめ代表的な関数に対して導関数を求めておいて、実際にはそれを公式として使って具体的な導関数を求めます。数Ⅱの微分で覚えておく必要があるのはごく少数で、導関数のほとんどは数Ⅲの微積で覚えることになります。数Ⅱで覚える導関数と微分の公式は下のものです。

\begin{align} (x^n)’=nx^{n-1} 特に(x)’=1(nは自然数)\\ (c)’=0 (cは定数)\\ \{kf(x)\}’=kf'(x)\\ \{f(x) \pm g(x)\}’=f'(x) \pm g'(x) \end{align}

一番下のものは、関数の足し算と引き算の形をしているときの全体の微分は、それぞれの関数ごとに微分して足すか引くかすればよい、ということを意味しています。f(x)g(x)やf(x)/g(x)の掛け算、割り算の場合には適用できないので気をつけてください。

ここでf(x)=x(x2+1)+2の導関数f'(x)を、定義式と公式の両方を使って計算してみます。まず定義式を使って求めると下のようになります。

\begin{align} f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ =\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)\{(x+h)^2+1\}+2-\{x(x^2+1)+2\}}{h}\\ =\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)(x^2+2hx+h^2+1)+2-(x^3+x+2)}{h}\\ =\lim_{h \to 0}\frac{x^3+2hx^2+h^2x+x+hx^2+2h^2x+h^3+h+2-x^3-x-2\}}{h}\\ =\lim_{h \to 0}\frac{3hx^2+h^2x+h^3+h\}}{h}\\ =\lim_{h \to 0}(3x^2+hx+h^2+1)\\ =3x^2+1 \end{align}

今度は公式を使うと下となります。

\begin{align} f'(x)=\{x(x^2+1)+2\}’\\ =(x^3+x+2)’\\ =(x^3)’+x’+2’\\ =3x^2+1 \end{align}

以上より同じ計算結果となり、そして圧倒的に公式を使った方が楽です。なので実際の計算では公式を使えばよいですが、定義式の意味は重要なので、定義式の方も覚えておいてください。

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むつきさっち

物理と数学が苦手な工学博士。 機械翻訳で博士を取ったので一応人工知能研究者。研究過程で蒐集した知識をまとめていきます。紹介するのはたぶんほとんど文系分野。 でも物理と数学も入門を書く予定。いつの日か。

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