指数関数の方程式と不等式

１．指数関数の方程式

累乗の形式を含む方程式と不等式の解き方についてです。まずは比較的解くのが簡単な方程式からいきましょう。累乗の形式を含む方程式を解くときは、底（a^xのaの部分）を揃えるのが基本です。具体例を一つ下に示します。

\begin{align} (\frac{1}{4})^x=8\\ (2^{-2})^x=2^3\\ 2^{-2x}=2^3\\ 両辺の指数を比較して-2x=3、よってx=-\frac{3}{2} \end{align}

２．指数関数の不等式

次は不等式の解き方で、これは指数関数の形状をもとにすると解けます。次の不等式で説明します。

\begin{align} (\frac{1}{8})^x>2\cdot4^x \end{align}

ざっと手順をまとめると下の通りです。

1. 底をそろえる
2. 指数乗部分の比較ができる形に式変形する
3. グラフの形状から指数乗部分の不等式を作って解く

２．１　底をそろえて式変形

不等式でも底を揃えるのが基本で、この式では1/2に揃えることも可能ですが、ここでは2に揃えてy=2^xの関数で考えることにします。底を2にそろえると、元の不等式は下のようになります。

\begin{align} (\frac{1}{8})^x>2\cdot4^x\\ (\frac{1}{2^3})^x>2(2^2)^x\\ 2^{-3x}>2^{2x+1} \end{align}

２．２　グラフの形状から不等式を解く

底が1より大きいので、y=2^xのグラフは図１のような形になります。

xの増加にともなって必ずyも増加する形となっていて、こういった形のグラフになる関数を単調増加関数と呼びます（逆は単調減少関数）。x軸上でbがaより大きければ2^b>2^aであり、逆に2^b>2^aのときはb>aでもあります。上の式変形で-3x=b、2x+1=aとしてみると2^b>2^aとなり、この不等式を満たすのはb>aです。この関係を使うと下のように不等式を解くことができます。

\begin{align} (\frac{1}{8})^x>2\cdot4^x\\ 2^{-3x}>2^{2x+1}\\ 2^b>2^a~(b=-3x,~a=2x+1)\\ よってb>a、つまり-3x>2x+1よりx<-\frac{1}{5} \end{align}

問題によっては底を0から1の間の数に揃えないと後々面倒くさい場合もありますが、ひとまずどちらかの形に揃えると決めて解いていってかまわないです。

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