対数関数のグラフ

１．対数関数のグラフの形状

対数関数y=log_axのグラフは、aの値により二つに形状が変わります。まずa>1の場合について形状を考えてみましょう。logの性質を考えれば、グラフの形を考えるのはそれほど難しくありません。しかしここでは関数の基本に帰って、関数y=log₂xに対して、代表的なxとyの値を表の形で示してみます。

x	1/16	1/8	1/4	1/2	1	2	4	8	16
log2x	log2 1/16	log2 1/8	log2 1/4	log2 1/2	log21	log22	log24	log28	log2 16
y	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4

2を何乗すればそのxになるかなので、xが1より小さいときはyの値は負になり、xが小さくなるごとにyの値も小さくなっていきます。0乗は必ず1になるという定義だったので、xが1のときはaがどの値であってもy=0です。xが1より大きいときはyの値は正になってxが大きくなるごとにyの値も大きくなっていきます。表からは読み取りづらいですが、乗数の性質を考えれば、xが0に近づくごとに急激にyの値は小さくなっていき、xが大きくなるごとにyの値の増え方は鈍っていきます。そしてy=log₂xのグラフ（a>1）は図1(a)のようになります。また、0<a<1の場合であるy=log_1/2xのグラフは、図1(b)のようになります。

２．グラフの形状の決定

対数関数を考えるときは、図1のように、aの値によりどちらの形状になるかをまず考える必要があります。たとえばy=log_1/2xなら、底が1/2なので図1(b)の形になります。

またy=log_1/2xのようにaが具体的に決まって、さらにaが1/2のように比較的簡単な場合は、底の変換を行ってもよいです。y=log_1/2xにおいて、底を2で変換すると下のように、log₂xに-1を掛けたy=-log₂xになります。

\begin{equation} y=\log_{\frac{1}{2}} x\\ =\frac{\log_2 x}{\log_2 {\frac{1}{2}}}\\ =\frac{\log 2 x}{-1}\\ =-\log_2 x \end{equation}

どの関数でも-1をかければx軸対象になるので、y=-log₂x(y=log_1/2x)のグラフは、図1(a)をx軸に対して折り返して、図1(b)と同じになります。

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