相似な図形の面積比と体積比 - 趣味で学問

相似な図形の面積比と体積比

同じ形で大きさが異なる図形が相似な図形です。相似な図形において、対応する箇所の長さがm:nのとき、面積の比がm2:n2、体積の比がm3:n3になることがわかっています。相似な図形であればどのような図形でもかまいません。このことは、面積が単位正方形何個分、体積が単位立方体何個分にあたるかを示す値であることを思い出すと納得がいきます。

正方形の面積は縦×横の長さなので、一辺の長さがmの正方形の面積はm2、長さnの正方形の面積はn2となり、面積比は上で示したm2:n2になります(図1)。

相似な図形では正方形以外の図形でも、縦横にあたる何かしらの基準となる長さがm:nととれるので、やはり同じように面積比はm2:n2で表すことができます。円だと半径がm:nのとき、面積の比を取ってみるとπm2:πn2=なので、m2:n2になります(図2)。

体積の方は正方形が立方体に変わりますが、全く同じ考え方で体積比がm3:n3になると理解できます。

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むつきさっち

物理と数学が苦手な工学博士。 機械翻訳で博士を取ったので一応人工知能研究者。研究過程で蒐集した知識をまとめていきます。紹介するのはたぶんほとんど文系分野。 でも物理と数学も入門を書く予定。いつの日か。

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