180°-θの三角比

前回、θ=180°まで拡張した場合の三角比は図形で考えるとわかりやすいことを示しました。同様に図で考えると、角度が180°-θのときの三角比をもっと簡単に示すことができます。

わかりやすいようにひとまずθを0°＜θ＜90°の範囲に限定します。図１に示すように、角度が180°-θのときにできる直角三角形は、角度θの直角三角形を左右反転した形をしています。ということは角度が180°-θの場合とθの場合を比較すると、180°-θのときに横の辺の値が-x、θのときにxになることを除いて同じです。結局のところxの値が関係するcosとtanの符号を変えるだけで、180°-θの三角比をθの三角比に変換することができます。角度θの三角比は下になります。

\begin{align} \sin \theta =\frac{y}{r}， \cos \theta = \frac{x}{r}， \tan \theta = \frac{y}{x}\\ \end{align}

上の三角比の値を代入することで、角度180°-θの三角比は下のように変換できます。

\begin{align} \sin (180°- \theta) =\frac{y}{r}=\sin \theta\\ \cos (180°- \theta) = \frac{-x}{r}=-\frac{x}{r}=-\cos \theta\\ \tan (180°- \theta) =\frac{y}{-x}=-\frac{y}{x}=-\tan \theta\\ \end{align}

公式として覚えてもよいのですが、図形で考えればこの関係をその都度導き出すことができます。慣れればすぐに変換することができるので、特段公式として覚える必要はないです。

最初に0°＜θ＜90°に限定しましたが、本当はθの角度はもっと幅広い角度で上の関係が成り立ちます。数Ⅱの三角関数で360°以上まで拡張するのでそのときにもう一度考えることにします。また証明もそのときに出てくる加法定理で行えます。
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