等比数列

等差数列と並ぶ基本となる数列が等比数列です。これも具体例の方がわかりやすいので下に一例示します。

\begin{align} a_{n}=1, 2, 4, 8, 16, \cdots\\ \end{align}

初項が1で第2項がそれに2をかけて2、第3項が第2項の2に2をかけて4、第4項はさらに2をかけて8というふうに、その項に2をかけると次の項になっています。この各項にかけていく値を公比（上の例では2）と呼びます。等比数列はこのかけていく公比が等しいという性質があるので「等比数列」です。

等比数列では各項にかける値が等しいという性質を使って、一般項を表現することができます。上の例では初項1に2をかけて1×2が第二項、第二項の1×2にさらに2をかけて1×2²が第3項というふうに、初項にその項数より1つ少ない回数で公比をかけることで各項の値が決定されます（図1）。

したがって第n項の値は初項aに公比rをn-1回かけて、下の公式となります。

\begin{align} a_{n}=ar^{n-1} \end{align}

初項3、公比-2の等比数列b_n=3,-6,12,-24,48,…を例にとると、一般項は上の公式を使って下のように計算できます。

\begin{align} b_{n}=ar^{n-1}\\ =3\cdot(-2)^{n-1}\\ \end{align}

第4項の値ならnに4を代入して3・(-2)^4-1=3・(-8)=-24となり、たしかに上の例の第4項-24と一致しています。

等差数列のときと同じで、等比数列の一般項もその性質をもとに簡単に導き出せるので、覚えるのが苦手な人は上の手順とセットで覚えるとよいと思います。
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