等比数列 - 趣味で学問

１．等比数列

等差数列と並ぶ基本となる数列が等比数列です。これも具体例の方がわかりやすいので、先に一例示します。

\begin{equation} a_{n}=1, 2, 4, 8, 16, \cdots\\ \end{equation}

初項が1で第2項がそれに2をかけて2、第3項が第2項の2に2をかけて4、第4項はさらに2をかけて8というふうに、その項に2をかけると次の項になっています。この各項にかけていく値を公比（上の例では2）と呼びます。等比数列はこの公比が等しいという性質があるので「等比数列」です。

等比数列では各項にかける値が等しいという性質を使って、一般項を表現することができます。上の例では初項1に2をかけて1×2が第二項、第二項の1×2にさらに2をかけて1×2²が第3項というふうに、初項にその項数より1つ少ない回数で公比をかけることで各項の値が決定されます（図1）。

したがって第n項の値は初項aに公比rをn-1回かけて、下の公式となります。

\begin{equation} a_{n}=ar^{n-1} \end{equation}

初項3、公比-2の等比数列b_n=3,-6,12,-24,48,…を例にとると、一般項は上の公式を使って下のように計算できます。

\begin{equation} b_{n}=ar^{n-1}\\ =3\cdot(-2)^{n-1}\\ \end{equation}

第4項の値ならnに4を代入して3・(-2)^4-1=3・(-8)=-24となり、たしかに上の例の第4項-24と一致しています。

等差数列のときと同じで、等比数列の一般項もその性質をもとに簡単に導き出せるので、上の手順とセットで覚えるとよいと思います。