重複順列

後々の説明のために、確率の前に重複順列について説明しておきます。「n個の中から重複を許してr個順番に並べる並べ方」を重複順列と呼びます。この一文だとどういうことかわかりづらいので具体例で説明します。

A、B、C、D、Eの5個の中から3個選んで順番に並べる場合は順列です。一番目は5通りあって、二番目は一番目のものがなくなっているのでその各々に4通り、同じように三番目はさらに一つ減ってその各々に3通り、合計5×4×3=60通りあります。これに対して「重複を許して」というのは一度選んだものをまた選んでよいことを意味しています。ということで二番目以降も減らずに一番目と同じ5通り、三番目も5通りなので5×5×5=125通りです(図１）。以上より「n個の中から重複を許してr個順番に並べる」重複順列の並べ方はn×n×…×n（nをr個かける）=n^rです。

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数学の問題を解くうえではもうこれ以上話すことはありません。ただ、この後の事象が連続して起こる場合を考えるにあたって、順列の考え方を振り返っておくとよいことがある…かも。順列₅P₃は「5つの中から3つ選んで並べる」という一つの事象に思えます。しかし一番目を選んでその条件で二番目を選んでさらにその条件で三番目を選ぶので、「各番目を選ぶ」ということがすでに一つの事象で、これが連続して起こる複合的な事象にみえます。二番目を選ぶときは一番目をすでに選んだという条件のために一つ減るわけで、この後出てくる「条件付き確率」と同様の考え方に思えます。重複順列では一回目の結果が次以降の選び方に影響しないわけで、「独立試行」の場合に類似します。「場合の数」と「確率」の違いはありますが、高校数学の「確率」を一通りやり終わった後で振り返ってみると、何か発見があるかもしれません。

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