有理数と無理数 - 趣味で学問

有理数と無理数

中1数学で「負の数」なるものを定義しました。中3ではさらに数を「無理数」まで拡張します。
参照ページ:負の数

「無理数」は、分母分子とも整数の形で分数表現できない数のことです。分母と分子ともに整数で表現できる場合、ある規則性を利用して割と簡単な形で少数表現することができます。例えば10/4なら割り算して2.5で、3/2は1.666666…、23/11は2.090909…です。3/2は小数点第一桁からずっと6が続くので、こういうときは

\begin{align} 1.\dot{6} \end{align}

と書くことでそのことを表現する約束になっています。23/11の09が無限に続く場合なら

\begin{align} 2.\dot{0} \dot{9} \end{align}

と書きます。このような規則で表現できる小数を循環小数と呼びます。

これらに対し、循環小数表記で表現できない場合が存在します。すでに円周率πをこれまでに使用していますが、これは3.141592…以下規則性が現れることなく続く数です。このような数を「無理数」と定義します。そしてこれまで使用してきた2とか-3とかの整数、上で出てきた循環小数などをまとめて、「有理数」と定義します。有理数の方は自然数が整数に含まれて、さらに整数は分数や小数に含まれてというふうに包含関係を考えることができますが、無理数と有理数は包含関係ではなく二分割されると考えられています。数の包含関係や分割関係を図1のように示すことができます。さらに有理数と無理数を合わせて「実数」と定義し、虚数(複素数)と分割するのですが、それは高校数学で習うので今は飛ばします。

今まで無理数はπくらいしか出てこなかったのですが、ある特性を持った数、例えば二乗して2になるような数を考えようとすると、無数に無理数が現れてきます。中3数学では無理数のうち、二乗してその数になる数を表現するための、平方根が新たに導入されます(図1の√2、-√3)。

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むつきさっち

物理と数学が苦手な工学博士。 機械翻訳で博士を取ったので一応人工知能研究者。研究過程で蒐集した知識をまとめていきます。紹介するのはたぶんほとんど文系分野。 でも物理と数学も入門を書く予定。いつの日か。

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