二次関数

中学数学ではたいてい、二次方程式の後に二次関数をやります。二次方程式と二次関数は密接な関係を持つのですが、とりあえず中学数学の範囲ではわけて考えてもらってかまいません。二次関数はy=ax²+bx+cの形の変数xの方程式ですが、中学数学ではy=ax²のみを扱います。

まずはy=x²（a=1のとき）…①を具体例として考えてみましょう。一次関数や反比例のときと同じように、具体的なxとyの値の関係を表に示してみます。

表1　y=x²を満たすxとyの値

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	9	4	1	0	1	4	9

表1を眺めてみると、x=0をはさんで同じyの値が対称に現れてきているのがわかります。 x=2とx=-2のときを例にとります。 ①にx=2の値を代入してy=2²=4となり、x=-2を代入してy=(-2)²=4です。 二乗すると正の数は正になりますし、負の数もマイナスかけるマイナスで正の数になります。 そのためxが2と-2とか3と-3のように、+と-を除いた部分が同じ場合は、yの値はxの値を二乗して同じになります。 xが整数の場合以外でもyの値を計算することができて、xとyの値の関係をグラフで表すと図１のような下に凸で左右対称な曲線で、いわゆる放物線になります。

もういくつか例を示します。まずy=2x²…②についてです。これは係数aの値が2のときにあたります。これもxとyの値の関係を表にしてみると表2のようになります。

表2　y=2x²を満たすxとyの値

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	18	8	2	0	2	8	18

表1と比べるとxが同じときはyの値がその2倍になっています。これは②の式のxの係数aが1の2倍になっているためです。図2に①と②とy=(1/3)x²のグラフを示します。グラフから、aの値が大きいと尖った形に、小さいと開いた形になるのがわかります。

もう一つy=-x²についてもみてみます。xとyの値の関係は表3のようになります。

表3　y=-x²を満たすxとyの値

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	-9	-4	-1	0	-1	-4	-9

今度は係数が-1なので、y=x²の関数の値に-1をかけて、x軸をはさんで上に凸の対称形になります。y=-x²とy=-2x²とy=(-1/3)x²のグラフを図3に示します。

中学数学の二次関数の問題では、たいていグラフの形を思い浮かべてみると解くことができます。一題問題をといてみます。問題は「y=x²のグラフにおいて、xの範囲が-1から3のときの、yの最小値と最大値を求めなさい。」です。y=x²でxの範囲が-1から3のときのグラフを書くと、図4のようになります。図4の形からx=0のときにyは最小値0、x=3のときにyは最大値9を取るのがわかります。簡単にでよいので図4のようなグラフを書いてみれば、グラフの形をみてすぐに答えがわかります。慣れれば10秒もあればこの図を書くことができるので、わからないときはやはり図を書いて解いてみてください。

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