二元一次連立方程式

１．連立方程式

今回からしばらく連立方程式についてです。まずは連立方程式がどういうものかについて説明します。

ある関係式x+y=4…(1)があったとします。未定の数xとyを足すと4になりますよ、という式です。あるときxが3だと決まったとすると、未定だったxが3になって式(1)は3+y=4となってこの式を満たすyは1と決まります。こんな感じでx+y=4を満たすxとyの組は、xとyのどちらかの値が決まればもう一方が自動で決まります。式(1)を満たすxとyの組はかなり限られるんですが、それでも無数にあります。この式を満たすxとyの組の一部を下に取り出してみます。

表1　x+y=4を満たすxとyの値

x	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
y	6	5	4	3	2	1	0	-1	-2

ある法則性があって、xが増えるごとにyが同じだけ減っています。

今度はx-y=2…(2)の場合を考えてみます。これもさっきの式と同じで、この式を満たすxとyの組が決まってきて、でもやっぱり無数に組があります。(2)式を満たすxとyの組の一部は下のようになります。

表2　x-y=2を満たすxとyの値

x	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
y	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4

この表からも法則性が読み取れて、xが増えるごとにyが同じだけ増えています。上の二つの表を見比べてみると(x,y)=(3,1)の組が共通していることがわかります。このことはどういうことかというと、x=3、y=1という値の組は(1)式と(2)式の両方をを満たしているということを意味しています。二つの表を見比べてみると、(1)式のxが1増加するごとに1減少する性質と、(2)式の1増加するごとに1減少する性質から、xが3から離れるごとに二つの式のyの値が大きくずれていくので、結局両方の式を満たす値の組は(x,y)=(3,1)の一つだけであるのがわかります。ここまでの話をまとめると、x+y=4とx-y=2、この二つの式を同時に満たすxとyの組はx=3とy=1の一つだけですよ、ということです。

２．連立方程式を解く

長い前振りになりましたが、上で行った操作、二つの式を同時に満たすxとyの組を一つ見つけ出すことが「連立方程式を解く」ことです。連立方程式の書き方は決まっていて、下の式のような書き方をします。

\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} x+y=4 \\ x-y=2 \end{array} \right. \end{align}

この連立方程式を解いて、その解は(x,y)=(3,1)だ、という感じの言葉で表現します。連立方程式の解き方もだいたい決まっていて、それらの方法を用いて連立方程式を解く練習が、学校の授業では続きます。ちなみに上の連立方程式は二元一次連立方程式に分類されます。連立方程式の種類によって、解き方や解の数が変わってくるのですが、今は気にしないでください。

二元一次連立方程式の解き方には、代入法と加減法の二つがあります。次回はそのうちの代入法について説明します。

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