平方根 - 趣味で学問

平方根

二乗するとある数になるような数を求めたいとします。例えば二乗して4になる数の一つが2であることは、わりとすぐに思い浮かぶと思います。もう一つ、-2も二乗すると-と-が打ち消してやはり4になるので、二乗して4になる数は2と-2です。二乗(平方)してその値になるもと(根)の数として、「平方根」という言葉が定義されています。4の平方根は2と-2である、というふうにこの言葉を使います。

22=4とか、32=9という関係があるときは簡単に平方根を見つけることができます。では二乗して2になる数はどうでしょう。計算して求めてみると1.4142…という規則性なしに小数点が続く数、つまり前回で定義した無理数の一つであることがわかります。無理数の一つ、円周率はどんな半径の円でも同じ3.14…という値なので、πという文字で代理する決まりになっています。しかし平方根においては、2の平方根だけでなく3の平方根、5の平方根、6の平方根というふうに無数にあるので、一つの文字で置くわけにはいきません。そこでその数の平方根を表すための記号√が定義されています。

先に書き方の例を示すと、2の平方根は±√2になります。小数で表すと√2=1.4142…、-√2=-1.4142…です。

負の数とその演算法則を中学一年のときに習ったわけですが、-の数に-の数を掛けると反転して+になると定義したので、この規則に従う限り二乗して-になる数は存在しません。そのため平方根を取ることのできる数は必ず正の数です。また-の数も二乗すれば+になるので、平方根は+と-の両方が該当します。そこで√は必ず正と決めておいて、-の方の平方根はプラスの√に-1をかけて、-√と表現します。特殊な場合として0の平方根があって、細かい話は置いておいて0の平方根は0です。±をつけてもよいのですが、0に±をつけてもあまり意味がないので、慣用的に0は0とすることになっています。実は高校数学で負の数の平方根まで拡張するのですが、中学数学ではその場合は忘れてもらってかまいません。

関連ページ:負の数

平方根のルールや具体例を下のようにまとめることができます。


定義:数 a に対して、x2 = a を満たす x を a の平方根という。

正と負の値の二つをとり(0は例外)、正である方を√を用いて√aのように表す。
負の方は-√aと表す。

条件:√の中の数は必ず正である。

特殊な値:0の平方根は0である。
√0=0

具体例1
3の平方根は
√3=1.732…
-√3=-1.732…
の二つ。

具体例2
9の平方根は
±√9=±3


平方根の計算には他にも規則が設けられていて、次回に平方根の計算方法を示したいと思います。

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むつきさっち

物理と数学が苦手な工学博士。 機械翻訳で博士を取ったので一応人工知能研究者。研究過程で蒐集した知識をまとめていきます。紹介するのはたぶんほとんど文系分野。 でも物理と数学も入門を書く予定。いつの日か。

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