等差数列

高校数学の数列で、基本となる数列の一つが等差数列です。それぞれの項の差が等しいので「等差数列」です。具体例の方がわかりやすいので、一つ示すと下のような数列です。

\begin{align} a_{n}=1, 3, 5, 7, 9, \cdots\\ \end{align}

初項が1で第2項は1に2を足して3、第3項は3に2を足して5というふうに、その項に2をたすと次の項になっています。この各項の差（上の例では2）を公差と呼びます。

等差数列には各項の差が等しいという規則性があるので、この規則性を使って一般的な第n項（一般項と呼びます）を求めることができます。上に挙げた数列a_nは公差が2なので、第2項なら初項1に2を1回たして1+2×1=3、第3項なら2を2回たして1+2×2=5です（図1）。

この規則性から第n項はどうなるかというと、2をn個より一つ少ないn-1回、初項1にたして、a_n=1+2(n-1)=2n-1です。a_nでは初項1、公差2なのでこの式になりました。このように初項と公差がわかればどんな等差数列でも記述できて、初項a、公差dとすると、等差数列の一般項は次の公式で表されます。

\begin{align} a_n=a+(n-1)d \end{align}

例えば初項5、公差-3の等差数列b_n=5,2,-1,-4,-7…の一般項は、この公式を使って下のように計算することができます。

\begin{align} b_n=5+(n-1)(-3)\\ =5-3n+3\\ =-3n+8 \end{align}

図1に示したように、等差数列の一般項の公式は、等差数列の性質を考えて自然に導き出せることができます。覚えるのが苦手な人はその都度この性質から公式をその場で導き出してみるとよいでしょう。

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