相似な図形 - 趣味で学問

相似な図形

形も大きさも同じ二つの図形を合同といいます。今度は三年で図形の相似がでてきます。「相似」は形が同じで大きさの異なる場合のことです。二つの図形が相似となる条件は、合同に比べ大きさが異なっていてもよいので、合同条件によく似ているけど少し緩くなっています。

二つの三角形の合同条件と相似の条件を下に示します。

<合同>
①三組の辺の長さがそれぞれ等しい。
②二組の辺の長さとその間の角がそれぞれ等しい。
③一組の辺の長さとその両端の角がそれぞれ等しい。

<相似>
①三組の辺の比が、すべて等しい。
②二組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
③二組の角が、それぞれ等しい。

合同と相似の①と②の表現を比べると、等しい必要があるのは、合同では長さで相似では辺の比です。また③では、合同で辺の長さの等しさが条件として必要だったのが、相似ではいらなくなっています。これらの表現の違いはすべて、相似では大きさは異なっていてもよいことからきています。

図1に相似条件をまとめます。これらの条件を使って二つの三角形が相似であることを示せれば、片方の長さがわかればもう片方の長さも求めることができます。この性質を測量に利用することなんかも可能です。

相似の証明と辺の長さを求める問題を一つ示しておきます。問題は「図2でm//nのとき辺BCの長さを求めなさい。」です。

まず三角形ABC∽三角形EDCを証明します(∽は相似を意味する記号)。

<証明>
m//nより平行線の錯角は等しいので
角CAB=角CED…①
角CBA=角CDE…②
①、②より2組の角がそれぞれ等しいので、三角形ABC∽三角形EDCである。(証明終わり)

辺ABと辺EDは相似な三角形の対応する辺なので、辺AB:辺ED=2:3より、三角形ABCと三角形EDCの相似比は2:3となります。同じく辺BCと辺DCは対応する辺だから、BC:DC=2:3です。辺BCの長さをxとおくと、x:6=2:3より3x=12(比の式参照)。よってx=4となります。

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むつきさっち

物理と数学が苦手な工学博士。 機械翻訳で博士を取ったので一応人工知能研究者。研究過程で蒐集した知識をまとめていきます。紹介するのはたぶんほとんど文系分野。 でも物理と数学も入門を書く予定。いつの日か。

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