扇形

円を元にして扇形の弧の長さや面積を求めることができます。まず半径rの円の弧の長さは2πr、面積はπr²です。円周率は3.14…と続いていく数（無理数）であり、表示しきれないので文字πでおいておきます。円周率は円の直径に対する円周の比率なので、直径（2r）がわかればそれに比率である円周率πをかければその円周の値が出てきます。面積の方は正確には高校数学の積分が必要になるのですが、式から読み取れるだいたいの意味は、半径rと同じ長さの辺を持つ正方形の面積に、やはり円周率という比率をかければ円の面積になりますよ、という感じです。

次に扇形ですが、これはコンパスで円を描く途中の形だと思えばよいです。コンパスを回転させて、回転前と回転後におけるコンパスの針と鉛筆の先を結ぶと扇形になります（図1(a)）。ぐるっと一回転したときは円になって、半回転なら半円、1/3回転なら中心角120°の扇形です。見方を変えると、円や半円は扇形の特殊な場合という言い方もできます。

扇形の形は円を描くときに、円に対してどれくらいの比率で回転させたかで決まります。そのことから円に対する回転の比率がわかれば、扇形の弧の長さも面積も、円に対する比率をかけることで求めることができます。図1(b)の扇形は半径3の円に対して1/3回転させた場合なので、中心角も弧の長さも面積も、円に対して1/3、比で表現すれば1:3（扇形：円）になっています。円の中心角は常に360°なので360°かける1/3で中心角120°、円周2π×3=6πかける1/3で弧の長さ2π、円の面積π×32=9πかける1/3で3πという風に、扇形の中心角、弧の長さ、面積を求めることができます。中心角が120°とわかっていれば、120/360で1/3という比率がわかりますし、弧の長さが2πとわかれば2π/6πで、面積3πがわかれば3π/9πでやはり1/3という比率がわかります。したがってその扇形の半径とともに円周角、弧の長さ、面積のうちのどれか一つがわかれば、残りの二つを計算することができます。

扇形の円周角、弧の長さ、面積の求め方は一般に下の手順で計算できます。

1. 円周の長さ、円の面積を求める（円の中心角は360°で決まっている）。
2. わかっている値から円に対する比率を求める。
3. 円の中心角、周の長さ、面積に対して上の比率をかける。

半径2で弧の長さ3πの扇形（図2）で、残り二つの値を計算してみます。

円周は2π×2=4πなので、円に対する扇形の回転比率は3π/4π=3/4です。円の中心角360°かける3/4で扇形の中心角は270°、円の面積π×2²=4πに3/4をかけて扇形の面積は3πになります。

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