直線のベクトル方程式

１．直線のベクトル表現

前回は直線上の三点をベクトルで表現する方法についてでした。その知識を使って直線をベクトルで表現することができ、これをベクトル方程式と呼びます。直交座標系の直線を式で表すということなので、ベクトル関数では？と思えますが、とりあえずベクトル方程式の名前で覚えておいてください。理由はよくわからないです。

２．直線のベクトル方程式の定義

先に直線のベクトル方程式の定義を書いておきます。

\begin{align} ベクトル方程式：点Aを通り、\overrightarrow{u}に平行な直線の方程式は\\ \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{u}~(tは実数)\\ \end{align}

定義式の状況を図示すると図１となります。

３．直線のベクトル方程式の導出

上の定義式の導出はわりと簡単です。まず始点をOとおいて点Pの位置を示すOPベクトルは

\begin{align} \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}…① \end{align}

点Pは直線AB上を自由に動く点なので、直線上の点Pを表現するのにもう一工夫必要です。そこでABベクトルと同じ方向のベクトル（逆方向でもよい）を一つ、大きさはいくらでもよいのでuベクトルとして定めておきます。Pが動けるのは直線AB上であり、APベクトルはこのuベクトルの実数倍になっていることから次のように書けます。

\begin{align} \overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{u} \end{align}

これを①に代入すると、定義式と同じ

\begin{align} \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{u}\\ \end{align}

となります。

この表現の仕方は、一次関数（平面上の直線）を傾きと切片の二つで表現（y=ax+b…②）していたのと似ています。OAベクトルが定点なのでy切片（②式のｂにあたる）と、uベクトルが方向を示しているので傾き（②式のa）と類比することができます。一次関数と直線のベクトル方程式の関係は、次回の方向ベクトルと法線ベクトルで説明する予定です。

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