直線のベクトル方程式 - 趣味で学問

直線のベクトル方程式

前回は直線上の三点をベクトルで表現する方法についてでした。その知識を使って直線をベクトルで表現することができ、これをベクトル方程式と呼びます。直交座標系の直線を式で表すということなので、ベクトル関数では?と思えますが、とりあえずベクトル方程式の名前で覚えておいてください。理由はよくわからないです。

先に直線のベクトル方程式の定義を書いておきます。

\begin{align} ベクトル方程式:点Aを通り、\overrightarrow{u}に平行な直線の方程式は\\ \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{u}~(tは実数)\\ \end{align}

定義式の状況を図示すると図1となります。

上の定義式の導入はわりと簡単です。まず始点をOとおいて点Pの位置を示すOPベクトルは

\begin{align} \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}…① \end{align}

点Pは直線AB上を自由に動く点なので、直線上の点Pを表現するのにもう一工夫必要です。そこでABベクトルと同じ方向のベクトル(逆方向でもよい)を一つ、大きさはいくらでもよいのでuベクトルとして定めておきます。Pが動けるのは直線AB上であり、APベクトルはこのuベクトルの実数倍になっていることから次のように書けます。

\begin{align} \overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{u} \end{align}

これを①に代入すると、定義式と同じ

\begin{align} \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{u}\\ \end{align}

となります。

この表現の仕方は、一次関数(平面上の直線)を傾きと切片の二つで表現(y=ax+b…②)していたのと似ています。OAベクトルが定点なのでy切片(②式のbにあたる)と、uベクトルが方向を示しているので傾き(②式のa)と類比することができます。一次関数と直線のベクトル方程式の関係は、次回の方向ベクトルと法線ベクトルで説明する予定です。

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むつきさっち

物理と数学が苦手な工学博士。 機械翻訳で博士を取ったので一応人工知能研究者。研究過程で蒐集した知識をまとめていきます。紹介するのはたぶんほとんど文系分野。 でも物理と数学も入門を書く予定。いつの日か。

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