三角形の面積とsin

sinの値を使って三角形の面積を求めることができる場合があります。簡単でわかりやすい式なので紹介しようと思います。それから三角形の内接円の半径を用いて三角形の面積を表現できます。これらを用いて三角形の内接円の半径を求めることができるので、最後に一題やってみることにします。

二つの辺の長さとその間のsinの値がわかると、下の式で三角形の面積を計算できます。

\begin{align} S=\frac{1}{2}bc \sin A…① \end{align}

図１においてb・sinAは高さhにあたるので、式①は底辺（c）×高さ（b・sin A）×1/2の三角形の面積の公式そのものです。このことを一度理解しておけば覚えなくても①の式をその場で作ることもできます。

次に図２に示すように、三角形の三辺と内接円の半径rがわかっている場合に、三角形の面積は下の式で表現できます。

\begin{align} S=\frac{r(a+b+c)}{2}…② \end{align}

円の中心から円と接線の交点に線を引くと直角に交わる、という性質を使うことで簡単に②の式を作ることができます。h1（半径r）とaは垂直に交わっているので、h1=rを高さ、aを底辺と考えれば三角形の面積S1=a×r×1/2です。同様にしてS2=b×r×1/2、S3=c×r×1/2です。三角形の面積Sはこの三つの三角形の面積を足し合わせたものなので、計算すると下のようになります。

\begin{align} S=S_1+S_2+S_3\\ =\frac{ar}{2}+\frac{br}{2}+\frac{cr}{2}\\ =\frac{ar+br+cr}{2}\\ =\frac{r(a+b+c)}{2} \end{align}

こちらも一度理解しておけばその場で②式を導き出せるので、特に覚えなくても大丈夫でしょう（もちろん覚えて使ってもらってもかまいません）。

最後に上の二つを使って、図３の三角形の内接円の半径rを求めてみます。

条件として角Aは鋭角としています。今bとcとsinAがわかっているので、この三角形の面積Sは①式を用いて求めることができます。次に②式でrを含む形で面積Sを表現できれば、同じ三角形の面積なのでどちらの式でも等しい値であり、これを条件として満たすrを求めれば、これが求めている内接円の半径rの値です。具体的にやってみます。

\begin{align} 三角形ABCにおいてその面積Sは\\ S=\frac{1}{2}bc\sin A\\ =\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{6}\cdot7 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\\ =7\sqrt{2}…①\\ cos^2A=1-sin^2A\\ =1-(\frac{1}{\sqrt{3}})^2\\ =1-\frac{1}{3}\\ =\frac{2}{3}\\ よってcosA=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\\ =\frac{\sqrt{6}}{3}(∵Aは鋭角よりcos A\geq{0})\\ 余弦定理より\\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\ =(2\sqrt{6})^2+7^2-2\cdot2\sqrt{6}\cdot7 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}\\ =24+49-\frac{2\cdot2\cdot6\cdot7}{3}\\ =73-56=17となり\\ a=\sqrt{17}(∵a>0)\\ 内接円の半径rを用いると\\ S=\frac{r(a+b+c)}{2}\\ =\frac{r(\sqrt{17}+2\sqrt{6}+7)}{2}…②\\ 同じ三角形の面積なので①=②より\\ 7\sqrt{2}=\frac{r(\sqrt{17}+2\sqrt{6}+7)}{2}\\ したがってr=\frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{17}+2\sqrt{6}+7} \end{align}

途中②の式を使うために余弦定理を使ってaを求めてます。いくらか面倒な計算を経ましたがrの値が求まりました。適当に値を決めて三角形を作ったので、ぱっと見でどれくらいの値か見当もつかない値がでてきてしまいましたが、関数電卓で計算したらrは1.2くらいです。

内接円の半径を求める機会がこの先にあるかは定かではないです。しかしrを求める過程、つまり「ある一つの量を求めたい値を含む式で表現し、その式を条件式として方程式を解いて求める」ことはよく使うので、高校数学の問題で練習をしておいても損はしないと思います。
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