相似な図形

形も大きさも同じ二つの図形を合同といいます。今度は三年で図形の相似がでてきます。「相似」は形が同じで大きさの異なる場合のことです。二つの図形が相似となる条件は、合同に比べ大きさが異なっていてもよいので、合同条件によく似ているけど少し緩くなっています。

二つの三角形の合同条件と相似の条件を下に示します。

<合同>
①三組の辺の長さがそれぞれ等しい。
②二組の辺の長さとその間の角がそれぞれ等しい。
③一組の辺の長さとその両端の角がそれぞれ等しい。

<相似>
①三組の辺の比が、すべて等しい。
②二組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
③二組の角が、それぞれ等しい。

合同と相似の①と②の表現を比べると、等しい必要があるのは、合同では長さで相似では辺の比です。また③では、合同で辺の長さの等しさが条件として必要だったのが、相似ではいらなくなっています。これらの表現の違いはすべて、相似では大きさは異なっていてもよいことからきています。

図1に相似条件をまとめます。これらの条件を使って二つの三角形が相似であることを示せれば、片方の長さがわかればもう片方の長さも求めることができます。この性質を測量に利用することなんかも可能です。

相似の証明と辺の長さを求める問題を一つ示しておきます。問題は「図2でm//nのとき辺BCの長さを求めなさい。」です。

まず三角形ABC∽三角形EDCを証明します(∽は相似を意味する記号)。

<証明>
m//nより平行線の錯角は等しいので
角CAB=角CED…①
角CBA=角CDE…②
①、②より2組の角がそれぞれ等しいので、三角形ABC∽三角形EDCである。(証明終わり)

辺ABと辺EDは相似な三角形の対応する辺なので、辺AB:辺ED=2:3より、三角形ABCと三角形EDCの相似比は2:3となります。同じく辺BCと辺DCは対応する辺だから、BC:DC=2:3です。辺BCの長さをxとおくと、x:6=2:3より3x=12(比の式参照)。よってx=4となります。

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二次関数

中学数学ではたいてい、二次方程式の後に二次関数をやります。二次方程式と二次関数は密接な関係を持つのですが、とりあえず中学数学の範囲ではわけて考えてもらってかまいません。二次関数はy=ax2+bx+cの形の変数xの方程式ですが、中学数学ではy=ax2のみを扱います。

まずはy=x2(a=1のとき)…①を具体例として考えてみましょう。一次関数や反比例のときと同じように、具体的なxとyの値の関係を表に示してみます。

表1 y=x2を満たすxとyの値
 x   -3   -2   -1   0   1   2   3 
y 9 4 1 0 1 4 9

表1を眺めてみると、x=0をはさんで同じyの値が対称に現れてきているのがわかります。 x=2とx=-2のときを例にとります。 ①にx=2の値を代入してy=22=4となり、x=-2を代入してy=(-2)2=4です。 二乗すると正の数は正になりますし、負の数もマイナスかけるマイナスで正の数になります。 そのためxが2と-2とか3と-3のように、+と-を除いた部分が同じ場合は、yの値はxの値を二乗して同じになります。 xが整数の場合以外でもyの値を計算することができて、xとyの値の関係をグラフで表すと図1のような下に凸で左右対称な曲線で、いわゆる放物線になります。

もういくつか例を示します。まずy=2x2…②についてです。これは係数aの値が2のときにあたります。これもxとyの値の関係を表にしてみると表2のようになります。

表2 y=2x2を満たすxとyの値
 x   -3   -2   -1   0   1   2   3 
y 18 8 2 0 2 8 18

表1と比べるとxが同じときはyの値がその2倍になっています。これは②の式のxの係数aが1の2倍になっているためです。図2に①と②とy=(1/3)x2のグラフを示します。グラフから、aの値が大きいと尖った形に、小さいと開いた形になるのがわかります。

もう一つy=-x2についてもみてみます。xとyの値の関係は表3のようになります。

表3 y=-x2を満たすxとyの値
 x   -3   -2   -1   0   1   2   3 
y -9 -4 -1 0 -1 -4 -9

今度は係数が-1なので、y=x2の関数の値に-1をかけて、x軸をはさんで上に凸の対称形になります。y=-x2とy=-2x2とy=(-1/3)x2のグラフを図3に示します。

中学数学の二次関数の問題では、たいていグラフの形を思い浮かべてみると解くことができます。一題問題をといてみます。問題は「y=x2のグラフにおいて、xの範囲が-1から3のときの、yの最小値と最大値を求めなさい。」です。y=x2でxの範囲が-1から3のときのグラフを書くと、図4のようになります。図4の形からx=0のときにyは最小値0、x=3のときにyは最大値9を取るのがわかります。簡単にでよいので図4のようなグラフを書いてみれば、グラフの形をみてすぐに答えがわかります。慣れれば10秒もあればこの図を書くことができるので、わからないときはやはり図を書いて解いてみてください。

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二次方程式を解く

方程式を解くとは、その式を満たす変数の値を求めることです。中学一年と二年で一元一次方程式と二元一次連立方程式の解き方を練習しました。今度は二次方程式の解き方についてです。二次方程式というのは、変数の最大の次数が2の方程式のことで、xの二次方程式はax2+bx+c=0…①の形で表現できます。結論を先に言うと、大きく分けて次の三つの解き方があります。

(1)平方根を利用する
(2)因数分解を利用する
(3)解の公式を利用する

(1)の方法はすでに平方根のところでやっています。x2=2を満たすxの値は±√2でした。この式は①の式と少し違うように見えますが、a=1、b=0、c=-2のとき①の式はx2-2=0となって、-2を右辺に移項すれば同じ形になります。なのでx2=2のような形の式も二次方程式です。このような形の二次方程式を解くときは、平方根を求めればよいことになります。

もっとも使い勝手がよいのが(2)の因数分解を利用する方法です。例としてx2+5x+6=0…②の二次方程式を解いてみます。左辺は因数分解することができて次のようになります。

\begin{align} x^2+5x+6=x^2+(2+3)x+2\times3\\ =(x+2)(x+3)\\ \end{align}

ということから上の方程式は(x+2)(x+3)=0…②’という形に式変形できます。実はこの形にするだけで方程式の解がx=-2とx=-3の二つだというのがわかります。②’の式は、x+2とx+3をかけると0になる、ということを言っています。二つの数をかけて0になるような場合はどのようなときでしょうか。0というのは特殊な数で、0でない数にある数をかけて0になるのは、かける数が0のときだけです。このことから②’の式を満たすのは、x+2=0かx+3=0のどちらかです(本当は両方0もあり得るのですが今は考えなくてよいです)。x+2=0のときはこの式を満たすxは-2だけです。同様にx+3=0を満たすのはx=-3のときだけです。よって②の方程式の解はx=-2またはx=-3になります。

②の方程式を解く流れをまとめておきます。
x2+5x+6=0…②
(x+2)(x+3)=0 (左辺を因数分解)
これを満たすのはx+2=0またはx+3=0、つまりx=-2またはx=-3がこの式を満たすので、②の方程式の解はx=-2またはx=-3である。

少し特殊な場合でx2-4x+4=0のような場合があります。これも左辺を因数分解して(x-2)2=0と式変形すると、この式を満たすxは2の一つしか出てきません。式の上では(x-2)=0が二重で出てくるので、こういう場合の解を重解と呼びます。

最後が解の公式で、次のようなものです。

\begin{align} ax^2+bx+c=0の解は\\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(ただしa>0かつb^2-4ac≥0) \end{align}

かなり面倒くさいですが、これは覚えてもらうしかありません。この公式も実は因数分解を利用して得られています。ax2+bx+c=0を次のように無理やり変形して無理数の求め方で公式を導くことができます。下の式変形ができる必要はまったくありませんが、なぜこんな形になるのか気になったのなら、式変形を追ってみてください。

\begin{align} ax^2+bx+c=0(ただしa>0)\\ a(x^2+\frac{b}{a}x)+c=0 \\ a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c=0 \\ a(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a}-c \\ (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\\ (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\ よってx+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} (ただしb^2-4acが0以上)\\ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}\\ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \end{align}

最後、具体例を一つ示します。2x2-7x+4=0の解は、解の公式より

\begin{align} x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\times2\times4}}{2\times2}\\ =\frac{7\pm\sqrt{49-32}}{4}\\ =\frac{7\pm\sqrt{17}}{4}\\ \end{align}

となります。解の公式を使えばどのような二次式でも解を求められるのですが、場合によっては恐ろしく計算が面倒くさくなるので、できるだけ因数分解を利用して解いてみてください。

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二次式の因数分解の公式

二次式を因数分解することは、今後もわりとよくあります。二次式の因数分解は公式として定められているものがあり、中学3年でこの公式を使った因数分解を練習します。

因数分解の公式はほぼ展開の逆操作です。二次式の公式の具体例を先に示しておきます。

(1) x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
(2) x2+(a-b)x-ab=(x+a)(x-b)
(3) x2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)
またはx2+{(-a)+(-b)}x+(-a)(-b)=(x-a)(x-b) ({x+(-a)}{x+(-b)})
(4) x2+2ax+a2=(x+a)2
(5) x2-2ax+a2=(x-a)2

(1)の場合、右辺の(x+a)(x+b)を展開すると、x2+bx+ax+abとなりbxとaxをxで括ると、x2+(a+b)x+abで公式の左辺になります。(4)なら右辺を展開すると、(x+a)2=(x+a)(x+a)=x2+ax+ax+a2=x2+2ax+a2となり、公式の左辺となります。こんなふうに展開の逆がそのまま公式になっているので、展開の練習をたくさんやっておくと因数分解の公式を覚えやすいし、この公式を使うのも楽になります。

(1)の使用例を下に示します。

x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3
 =(x+2)(x+3)

この例では5xと6を見て、足して5、かけて6になる二つの数の組み合わせを探します。この場合は2と3の組み合わせにより、2+3=5かつ2×3=6でこの関係を満たしていることから、公式によってx2+5x+6=(x+2)(x+3)と因数分解されます。以下、他の具体例を下に示します。

(2) x2-3x-10=x2+(2-5)x-2×5
 =(x+2)(x-5)
(3) x2-7x+12=x2-(3+4)x+(3×4)
 =(x-3)(x-4)
 またはx2-7x+12=x2+{(-3)+(-4)}x+(-3)×(-4)
 =(x-3)(x-4)
(4) x2+4x+4=x2+2×2x+22
 =(x+2)2
(5) x2-6x+9=x2-2×3x+32
 =(x-3)2

これらの公式と共通因数の括りだしで、もう少し複雑な式を因数分解することもできます。また3次式の因数分解の公式や、もうちょっと複雑な二次式の因数分解の公式もあって、こちらは高校数学の内容になります。中学3年ではこのあとすぐに、二次方程式を解くのに因数分解を利用します。

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数式の展開と因数分解

数式はたいてい目的に応じて変形していきます。よく使う式変形に展開と因数分解があります。式の展開と因数分解は対になっていて、基本、展開の方が楽なので、因数分解はその逆操作として行います。

展開は中学二年ですでに出てきていて、分配法則のページで一度紹介しているa(b+c)=ab+acの式です。もうちょっと複雑な(a+b)(c+d)を考えてみます。(a+b)=AとおいてみるとA(c+d)になるので、分配法則を適用してAc+Ad、Aを(a+b)に戻すと(a+b)c+(a+b)dになってやはり分配法則を適用するとac+bc+ad+bdになります。項数が多くなっても同じ操作を繰り返せば同じような形にできます。acとかbcとの積の項が足しあわされた形をしているので積和形式と呼んだりします。展開の仕方を図1に示します。手間はかかりますが、項数が多くても機械的に計算できます。

今度はその逆、ac+ad+bc+bdを式変形して(a+b)(c+d)の形にすることを考えます。この方向の式変形を因数分解と呼びます。式全体を細かい項の積の形にする、くらいの意味だと思っておいてください。展開ほど単純にはいかないのですが、こちらも決められた手順の組み合わせで行うことができます。まずは「共通項で括る」ことを行います。acとadならaが共通して含まれているのでa(c+d)という形に変形できます。これは展開の逆操作です。ac+ad+bc+bd=a(c+d)+b(c+d)になって、(c+d)が共通しているのでいったんこれをBに変えておいて括るとB(a+b)になって、Bを元に戻すと(c+d)(a+b)になります。

この後、二次方程式を解くことになるのですが、この因数分解を頻繁に利用します。そのため(x+a)(x+b)の形に因数分解するための公式がけっこうあって、中学三年でたくさん練習することになります。次回はこの公式と具体例を示す予定です。

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