三平方の定理

三平方の定理と呼ばれる直角三角形の辺の長さに関する定理が存在します。この定理はピタゴラスの定理とも呼ばれていて、古代ギリシアのピタゴラス教団においてすでに発見されていました。図１のように、直角三角形においては「斜辺の二乗=他の二辺のそれぞれの二乗の和」という関係が成立しています。式で書くとc²=a²+b²…(1)です。三辺のうち二つの辺の長さがわかれば、この式を使ってもう一辺の長さを求めることができます。

図2の具体例で計算練習をしてみます。

図２(a)では斜辺cがわかっていないので、(1)の式にa=3、b=4を代入してc²=3²+4²=25になります。cは正の数なのでc²=25を満たすcの値は5、つまり斜辺の長さが5だとわかります。(b)ではc²=3²+5²=34で斜辺c=√34です。斜辺がわかっている場合の(c)でも(1)の式に値を代入して、わかっていないbの値を求めることができます。値を代入すると(3√5)²=3²+b²となります。これを計算して
(3√5)²=3²+b²
b²=3²×(√5)²-3²
=9×5-9
= 36
よってb=6（なぜならばb>0）
となります。

関連ページ：平方根の計算、二次方程式を解く

直角三角形のうち図３の二つ（三角定規の直角三角形）はよく使うので、比を覚えておいてこの比を使って値を求めることをよく行います。図3(c)は(a)と相似なので三辺の比は一致しているので、1:2:√3=√2:c:aが成り立っています。この式は結局のところ(c)の図形は(a)の図形の√2倍になっているということなので、(a)のそれぞれの辺を√2倍して、(c)のc=2√2、a=√3×√2=√6となります。

三平方の定理の証明はたくさんあるらしくて、興味のある人はネットで調べてみてください。とりあえず数学者にでもならない限り、三平方の定理を使えればまったく問題ありません。

<< 円周角の定理　標本調査 >>