確率 - 趣味で学問

確率

場合の数に続いて確率です。確率は起きる可能性の度合いを0(起こらない)から1(必ず起こる)の間の数で表現したものです。確率の計算は、(その場合の数)/(全場合の数)で計算できます。先に具体例を示しておきます。サイコロを一回振ったとき1の目が出る確率は1(1の出方の通り数)/6(1から6までのどれかが出る通り数)です。3以下の目が出る確率は3(1から3までのどれかが出る通り数)/6(1から6までのどれかが出る通り数)=1/2です。確率でも積の法則が成り立つ場合は色々あって、二回サイコロを振るときとかもその一つです。二回振って、一回目が1、二回目に3以下の目が出る確率は、積の法則を適用して1/6×1/2=1/12です。

上の例を見て問題なく納得できるなら、中学数学における確率はほとんどできたも同然です。ただし、問題を解くのとは別に確率を考えることの注意点があって、重要なことなのでここで話をしておきます。

「サイコロを振って出る目を調べる」のようなことを「試行」と呼びます。文字通り試しに行ってみることの意味で、確率における試行とは、その結果が偶然に左右されるけれども結果がはっきりわかる場合を指します。そして試行の結果起こる「サイコロを振って1の目が出る」のような事態を事象と呼んでいます。それから「1の目が出る確率」を上のように1/6と計算できるのは、どの目も同じ確率で出るという前提条件があるためです。もしサイコロに細工がされて6の目だけ半分の確率で出るとかいう場合は、この計算方法では確率を計算することはできません。「どの目も同じように出る」のような条件を「同様に確からしい」という言い回しを用いて表現します。

いかさまのサイコロであっても、非常に多くの回数で実際にサイコロを振ってみれば、どの目がどのくらいの確率で出るか予測できるようになります。もちろんこのやり方ではとても大変ですし、実際に試してみないとわからないのでは、確率を考えることの意味がほとんどなくなってしまいます。しかし、「試行」における各事象の起こり方が「同様に確からしい」場合は、計算によって確率を求めることができます。計算で求めた確率が本当に正しいの?という疑問はもっともですが、基本となる確率は本当に試してだいたい計算通りになることが確かめられているので、とりあえず高校までに出てくるような事例では、計算で出した確率も正しいと考えて問題ありません。

色々な事例で場合の数と確率の計算規則が確立されています。これらは高校数学の範囲になるので、中学数学で必要になる計算規則は「和の法則」と「積の法則」の二つだけと言ってよいでしょう。ここでは計算ではなく具体的に数え上げるやり方を二つ紹介しておきます。

一つは樹形図です。一枚のコインを3回投げるとき、一回目に表か裏、二回目に一回目の結果に続いて表か裏、というふうに考えていくと、コインの表裏の出方を図1のように図示することができます。例えば3回投げて表が2回で裏が1回出る確率は、図1を見てそのように出る組み合わせを調べてみれば3/8とわかります。これを計算で求めるには高校で学習する「組み合わせ」の考え方が必要になりますが、数が少ないときはこれで十分です。

もう一つは表形式で、例として、二回サイコロを振ったときの一回目と二回目の組み合わせを表にすると表1のようになります。

表1 二回続けてサイコロを振ったときの組み合わせ
1 2 3 4 5 6
 1    (1,1)     (1,2)     (1,3)     (1,4)     (1,5)     (1,6)  
 2  (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
 3  (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
 4  (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
 5  (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
 6  (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

左が一回目の目の出方、上が二回目の目の出方です。全部で6×6=36通りあります。例えば二回合計の目の値が3以下の場合の数は、表から探して(1,1), (1,2), (2,1)の3回なので、その確率は3/36=1/12です。この表の書き方は生物学の遺伝分野において利用されています。

他にも根元事象、余事象、独立な事象(積の法則が適用可)など重要な言葉がありますが、ひとまず中学では忘れてもらってかまいません。

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むつきさっち

物理と数学が苦手な工学博士。 機械翻訳で博士を取ったので一応人工知能研究者。研究過程で蒐集した知識をまとめていきます。紹介するのはたぶんほとんど文系分野。 でも物理と数学も入門を書く予定。いつの日か。

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