正弦定理

正弦定理と余弦定理と呼ばれる、三角比と関係する法則があります。話の流れ自体は単純で、こういう定理がわかっていてこれを使ってわかってない辺の長さとかがわかるので、具体的に使って見つけてみましょう、ということです。ただし結構複雑な式なので、ある程度練習しておかないと使うのが難しいです。このページではsinに関係する正弦定理の方を示します。

正弦定理は次の通りです。

\begin{align} \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}= 2R…① \end{align}

Rは三角形ABCの外接円の半径です。図で示すと図１のようになります。

証明はネットにも上がってますし気になる人は探してみてください。最初に言った通り、こういう便利な法則が見つかってるから覚えて使ってみる、くらいでかまいません。

図２で正弦定理を具体的に使ってみます。

正弦定理は等号が三つも連なってますが、その都度使う部分を抜き出して使います。たとえば外接円の半径がわかっていてsinAの値がわかっているときは①式の中から
a/sinA=2R…②のところを抜き出して使います。両辺にsinAをかけるとa=2R・sinAになるので、半径とsinAの値を代入すればaの長さがわかります。図２で半径R=3、sinA=1/2なのでこれを代入してa=3になります。

②はaとsinAと2Rで成り立っているので、この三つのうち二つがわかれば残り一つがわかりました。a/sinA=b/sinB…③の部分は4つの成分で成り立っているので、このうち３つがわかれば残り一つがわかります。はじめからわかっているsinAとbに加え、今aの長さがわかったので、a=3を③に代入して式変形するとsinB=1/√2になります。sinB=1/√2をみたすBは45°と135°の二つです。場合によっては片方しか条件を満たさず一つの三角形に決定しますが、図2は両方満たしていて二つ三角形ができます。三角形ABCはB=45°の場合で、点線の三角形AB’C’がもうひとつの三角形です。

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