対数関数

指数関数と対となる関数があって、対数関数と呼ばれます。この関数は「log」の文字を使ってy=log_axのように書くのでlog関数と呼ぶこともあります。また、この式におけるaを底、xを真数と呼びます。
対数関数は下の関係を持っています。

\begin{align} a^y=x \Longleftrightarrow y=log_a x ~(a>0, ~a\neq1, ~x>0) \end{align}

log関数は、底aを何乗すれば真数xになるかを示す関数で、y=log_ax（上の矢印右側）ならばaをy乗するとxになるので、式で書けばa^y=x（矢印左側）です。どのような覚え方でもよいですが、この関係はすぐにでてくるようにしておく必要があります。

そして対数関数には次のような性質があります。

\begin{align} a>0, ~a\neq1, ~M>0, ~N>0のとき\\ \log_a 1 = 0,~\log_a a = 1\cdots①\\ \log_a MN=\log_a M + \log_a N\cdots②\\ \log a \frac{M}{N} = \log_a M – \log_a N\cdots③\\ \log_a x^b = b\log_a x\cdots④\\ log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}(c>0, ~c\neq1)\cdots⑤ \end{align}

真数が掛け算なら足し算に（②）、割り算なら引き算に（③）、さらに累乗をそのまま係数（④）に変換できます。そのような関数が欲しかったのでそのような性質の関数を作った、と思っておいてください。

いくつか計算例を示しておきます。

\begin{align} \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3\log_2 2 = 3\\ \log_6 2\cdot\log_6 3=\log_6 2\cdot3=\log_6 6=1\\ \log_2 9 \cdot \log_3 8 =\log_2 3^2\cdot\log_3 2^3\\ =6\log_2 3\cdot\log_3 2\\ =6\log_2 3\cdot\frac{\log_2 2}{\log_2 3 }\\ =6 \end{align}

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