加法定理

１．加法定理

三角関数に関してこれは覚えておかないと、という公式に加法定理があります。証明はけっこうわかりづらい部類に入るので、これはもう単純に覚えておけばよいです。加法定理を覚えておけば、その後の倍角の定理や半角の定理、sinとcosの合成を自分で導くこともできます。

加法定理を下に示します。

\begin{equation} \sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha\cos \beta + \cos \alpha\sin \beta…①\\ \sin(\alpha-\beta)=\sin \alpha\cos \beta – \cos \alpha\sin \beta…②\\ \cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha\cos \beta – \sin \alpha\sin \beta…③\\ \cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha\cos \beta + \sin \alpha\sin \beta…④\\ \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha\tan \beta}…⑤\\ \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha – \tan \beta}{1+\tan \alpha\tan \beta}…⑥\\ \end{equation}

２．tanの公式の導出

このうちtanの公式はあまり使わない上に覚えづらいので、その都度計算するのでもよいでしょう。tanα=sinα/cosαから計算できます。下に⑤の導出を書いておきます。

\begin{equation} \tan (\alpha + \beta)=\frac{sin(\alpha+\beta)}{cos(\alpha + \beta)}\\ =\frac{\sin \alpha\cos \beta + \cos \alpha\sin \beta}{\cos \alpha\cos \beta – \sin \alpha\sin \beta}\\ =\frac{\frac{\sin \alpha\cos \beta}{\cos \alpha\cos \beta}+\frac{\cos \alpha\sin \beta}{\cos \alpha\cos \beta}}{1-\frac{\sin \alpha\sin \beta}{\cos \alpha\cos \beta}}\\ =\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha\tan\beta} \end{equation}

上の二行目から三行目は分母分子をcosαcosβで割ってます。この操作はわかりづらいかもしれませんが、最終的にtanで表現することを念頭に入れて二行目を眺めていれば、cosαcosβで割ってtanが引っ張り出せるのに気づくかもしれません。一度計算しておけばけっこうこの操作が出てくるので、計算で導出する練習をしておくか、それがいやなら頑張って覚えてみてください。

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