90°-θの三角比

前回は角度が180°-θの三角比をθを使って簡単に表現できることを示しました。前回と同様に図形的に考えることで90°-θの場合も角度θの三角比で表現できます。

今回もまずθを0°＜θ＜90°で限定しておいて考えます。図１(a)に角度が90°-θの場合を示しています。図よりsin(90°-θ)=y/r、cos(90°-θ)=x/r、tan(90°-θ)=y/x…①です。このとき角度θの直角三角形が図１(a)のようにできています。そのままだと見づらいので、図１(b)に左右反転して90°回転した図を示しています。反転して回転したために、図１(a)の横軸xが縦の長さ、縦軸yが横の長さになっています。したがって図１(b)での三角比はsinθ=x/r、cosθ=y/r、tanθ=x/y…②です。①と②を見比べるとsin(90°-θ)=y/r=cosθ、cos(90°-θ)=x/r=sinθになっていることがわかります。tanはちょっとだけ式変形が必要で、tan(90°-θ)=y/xの右辺の分母分子をyで割ると1/(x/y)となり、tanθ=x/yを代入してtan(90°-θ)=1/tanθです。今述べたことをまとめると下のようになります。

\begin{align} \sin(90°- \theta)=cos\theta\\ \cos(90°- \theta)=sin\theta\\ \tan(90°- \theta)=\frac{1}{\tan \theta} \end{align}

公式として覚えてもよいですが、図形で考えて出せるので毎回図形的に考えて変換するのでもかまいません。

上記の関係もθがもっと幅広い値のときでなりたちます。こちらも三角関数のページでもう少し詳しく説明しようと思います。

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