面積と体積 - 趣味で学問

面積と体積

中学一年の後半になると、いくつかの図形の面積と体積の求め方を習います。ところで面積と体積ってなんでしょう。こういう普通の言葉の方が説明が難しかったりします。二つとも広さや容量を数値で表して、その大きさを比較可能としたものです。

まず面積から考えましょう。それぞれの図形ごとに面積の求め方が決まっていますが、どの図形も辺の長さ1の正方形がいくつ分かで表現されています。自然科学では長さの単位をメートルで測ることが多いですが、ここは紙に書ける大きさのcmで考えましょう。まず縦横1cmずつの正方形の面積を1cm²と決めます。平面は縦と横の組み合わせで表現できるので、縦横1cmずつなので1cm×1cm=1cm²というふうに面積を表現しましょう、ということです。

図1のような長方形の面積を考えてみましょう。

縦3cm、横5cmの長方形の面積は3cm×5cm=15cm²になります。この15という数は何を意味しているかというと、1cm×1cm=1cm²の正方形が15個あるということです。実際に図1で1cm²の正方形が何個できているか数えてみると、15個であることがわかります。正方形や長方形は、1cm²の正方形が何個あるかは、縦横の長さをかけ合わせれば簡単にわかります。少し工夫すると平行四辺形、台形、三角形、ひし形も同じ考え方で面積を求めることができます。じゃあ半径rの円の面積πr²cm²なんかはどうなのかというと、これは高校で習う積分が必要になるのですが、やっぱり面積1cm²の正方形何個分かを表していることは同じです。πr²の「r²」のところにその名残が見られます。

今度は体積を考えてみます。これも考え方はまったく同じで、今度は縦横に加えて高さが加わります。縦横高さ1ずつの立方体を考えて、この立方体いくつでその図形が構成されているかで体積を表します。縦横高さ1cmずつの立方体の体積を、面積のときと同じようにして1cm×1cm×1cm=1cm³で表現します。やはり直方体なんかは計算しやすくて、例えば縦3cm、横5cm、高さ4cmの直方体の体積は3cm×5cm×4cm=60cm³になります。この60という値は、1cm³の立方体60個分にあたることを意味しています(図2)。球の体積の公式は(4πr3)/3で、こちらもやはりr3のところに、立方体何個ぶんかということが現れてきています。

中学では新しく扇型の面積や中心角の求め方を習いますが、これは円を元にして考えることができます。その具体的な求め方は次のページで示すことにします。
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むつきさっち

物理と数学が苦手な工学博士。 機械翻訳で博士を取ったので一応人工知能研究者。研究過程で蒐集した知識をまとめていきます。紹介するのはたぶんほとんど文系分野。 でも物理と数学も入門を書く予定。いつの日か。

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