タンジェント関数のグラフ - 趣味で学問

タンジェント関数のグラフ

sinとcosに比べてtan関数の形状は大きく異なります。図1にy=tanθのグラフを示します。

同じ形状の繰り返しはsin、cosと同様ですが、tanは波の形にはなっていません。一番中央の曲線を見てみましょう。横軸θの値が-π/2からπ/2の間に、この曲線が収まっています。単位円において角度θが一番小さい-π/2のときからはじめて、角度を大きく(左回りに動かす)していってみます。

まずtanθ=y/xでした。このxとyは円周上の点のx座標とy座標です。このy/xという値は、斜辺がつくる原点を通る直線の傾きになっています。tanを考えるときは直線の傾きを使うのも一つの手です。x=-π/2のとき(図2の①の場合)円の半径がぴったりy軸と重なって、x座標は0です。xが0なのでy/xの値が計算できず、ここのtanθの値は定義できません。直線の傾きとして考えても、y軸は傾きが定義できないです。図1のθ=-π/2のところに点線が引いてあるのはそのためで、これを漸近線(図1①)といい、この線に限りなく近づいていくけど決してその線に到達することはないですよ、ということを意味しています。

θ=-π/2(xが0)のときは定義できませんでしたが、θが-π/2よりちょっとだけ大きいとtanθの値を考えることができます。図2②ではちょっとだけ回転したのでxがとても小さい値でyは1に近い値です。描ききれないのですが、限りなくθが-π/2に近くてでもすこしだけ大きいとき、xは限りなく0に近づくので、このときy/xは限りなく小さな値になります(このあたりは数Ⅲの極限で取り扱います)。図1の②のところの曲線が下に見切れているのはそのためです。

θを大きくしていくとxは大きくなっていき、yも-1から0に向かって大きくなっていきます。たとえばθ=-π/4のときなら、よく知っている辺の比1:1:√2の直角三角形ができて、tanθ=-1/1=-1です(図1の③かつ図2の③)。さらにθを大きくしていくと、xが大きくなっていってyの値が0に近づくのでtanθ=y/xも0に近づきます。そしてθ=0のときx=1、y=0なので、tanθ=0になります(図1④、図2④)。同様にθを大きくしていくと今度はxの値が1からちょっとずつ小さくなっていきyの値が大きくなっていくので、tanθ=y/xの値は大きくなっていきます。そしてやはりθがπ/2に近づくとtanθの値は非常に大きな値になり(図1⑤、図2⑤)、θ=π/2が漸近線になってtanθの値は限りなく大きな値となります(図1⑥、図2⑥)。今の話は直線の傾きで考えても同様に考えることができます。

長くなりましたがこれがtan関数の曲線一個分です。θをπ/2より少しだけ大きくするとxが負の非常に小さな値となって、tanθは非常に小さな値となります。上と同じようにθを大きくしていってtanとの関係を見ていくと、π/2<θ<3π/2の間に同じ曲線が現われます(図1の⑦)。θはいくらでも回転も逆回転もできるので、θを大きくしていっても逆にθを小さくしていっても、やはり同じ形の曲線が現われ続けることになります。

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むつきさっち

物理と数学が苦手な工学博士。 機械翻訳で博士を取ったので一応人工知能研究者。研究過程で蒐集した知識をまとめていきます。紹介するのはたぶんほとんど文系分野。 でも物理と数学も入門を書く予定。いつの日か。

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