タンジェント関数のグラフ

sinとcosに比べてtan関数の形状は大きく異なります。図１にy=tanθのグラフを示します。

同じ形状の繰り返しはsin、cosと同様ですが、tanは波の形にはなっていません。一番中央の曲線を見てみましょう。横軸θの値が-π/2からπ/2の間に、この曲線が収まっています。単位円において角度θが一番小さい-π/2のときからはじめて、角度を大きく（左回りに動かす）していってみます。

まずtanθ=y/xでした。このxとyは円周上の点のx座標とy座標です。このy/xという値は、斜辺がつくる原点を通る直線の傾きになっています。tanを考えるときは直線の傾きを使うのも一つの手です。x=-π/2のとき（図２の①の場合）円の半径がぴったりy軸と重なって、x座標は0です。xが0なのでy/xの値が計算できず、ここのtanθの値は定義できません。直線の傾きとして考えても、y軸は傾きが定義できないです。図１のθ=-π/2のところに点線が引いてあるのはそのためで、これを漸近線（図１①）といい、この線に限りなく近づいていくけど決してその線に到達することはないですよ、ということを意味しています。

θ=-π/2（xが0）のときは定義できませんでしたが、θが-π/2よりちょっとだけ大きいとtanθの値を考えることができます。図２②ではちょっとだけ回転したのでxがとても小さい値でyは1に近い値です。描ききれないのですが、限りなくθが-π/2に近くてでもすこしだけ大きいとき、xは限りなく0に近づくので、このときy/xは限りなく小さな値になります（このあたりは数Ⅲの極限で取り扱います）。図１の②のところの曲線が下に見切れているのはそのためです。

θを大きくしていくとxは大きくなっていき、yも-1から0に向かって大きくなっていきます。たとえばθ=-π/4のときなら、よく知っている辺の比1:1:√2の直角三角形ができて、tanθ=-1/1=-1です（図１の③かつ図２の③）。さらにθを大きくしていくと、xが大きくなっていってyの値が0に近づくのでtanθ=y/xも0に近づきます。そしてθ=0のときx=1、y=0なので、tanθ=0になります（図１④、図２④）。同様にθを大きくしていくと今度はxの値が1からちょっとずつ小さくなっていきyの値が大きくなっていくので、tanθ=y/xの値は大きくなっていきます。そしてやはりθがπ/2に近づくとtanθの値は非常に大きな値になり（図１⑤、図２⑤）、θ=π/2が漸近線になってtanθの値は限りなく大きな値となります（図１⑥、図２⑥）。今の話は直線の傾きで考えても同様に考えることができます。

長くなりましたがこれがtan関数の曲線一個分です。θをπ/2より少しだけ大きくするとxが負の非常に小さな値となって、tanθは非常に小さな値となります。上と同じようにθを大きくしていってtanとの関係を見ていくと、π/2<θ<3π/2の間に同じ曲線が現われます（図１の⑦）。θはいくらでも回転も逆回転もできるので、θを大きくしていっても逆にθを小さくしていっても、やはり同じ形の曲線が現われ続けることになります。

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