統計的仮説検定

ある事象の解釈が妥当かどうか、統計的に検証してみる方法があります。これは証明とは違い、妥当性はどの程度かを調べる方法です。高校数学ではこういった方法の中で一つだけ、推定した母平均の区間推定について知っておく必要があります。

先に問題設定をしておきます。ある母集団の平均が推定されており、また母標準偏差σは経験的にわかっています。しかしこの推定されている平均が正しいのか、現在は疑問が持たれています。そこでこの母集団からn個の標本を取りだし標本平均を調べ、この値を使って推定された平均が妥当かどうか調べてみることにします。

ごく簡単に仮説検定の考え方を言うと、示したいことと逆の仮説を立て、その仮説の通りだと調べたデータとなる確率がとても小さくなることを示すことで、そんな小さい確率でしか起こらないことが起きているということはむしろその仮説が間違っていたと考えて、元の仮説の方が妥当だったと示す、というものです。数1のところで出てきた背理法とよく似ています。

新しい言葉の定義がたくさん出てきますので、下の表にまとめておきます。

帰無仮説	示したいことと反対の仮説で、この仮説の誤りを示すことを目指す。
対立仮説	帰無仮説と反対の仮説でこちらが本来の示したい仮説。
区間推定	帰無仮説を棄却するための設定を、確率分布の区間として設定する方法。
有意水準	起こる確率が低いと考えるときの、その確率のこと。95%、1%、0.1%のいずれかを用いる場合が多い。確率が低いほど対立仮説の妥当性が高い。

今回は具体例で手順を示そうと思います。問題は次のものです。

「家の水槽にある魚が10匹いて、その魚は成魚で8cmくらいになるとされています。家の魚10匹のサイズを測ると7.0、8.5、9.0、10.5、10.0、11.0、7.0、8.0、9.5、10.5cmでした。平均をとると9.1cmであり、平均成魚サイズは8cmとは違っているかもしれません。有意水準95%で平均8cmかどうか区間推定で検定します。なおその魚の仲間全体で、全長の標準偏差は2.5だとわかっています（非現実的な設定の気はしますがご了承ください。標準偏差がわからないときはもう少し複雑な方法が必要です。）。」

手順は下のようになります。

1. 帰無仮説を「平均成魚サイズmは8cmである。」、対立仮説を「平均成魚サイズmは8cmではない。」とする。
2. 標本平均は正規分布N(8, 2.5²)に従うと考えられるので、標準正規分布（確率変数Z）に変換する。
3. 標本のデータと帰無仮説のm=8を用いてZの値を求める。
4. 求めたZの値が有意水準95%、つまり-1.96≦Z≦1.96の範囲に含まれるかどうか確かめる。

では計算して確かめてみます。

\begin{align} 標本平均\bar{X}=\frac{7.0+8.5+9.0+10.5+10.0+11.0+7.0+8.0+9.5+10.5}{10}=9.1\\ Z=\frac{\bar{X}-m}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\\ 実現値z=\frac{9.1-8}{\frac{2.5}{\sqrt{10}}}≒1.39\\ 実現値z=1.39は採択域に含まれるので帰無仮説m=8.0は採択される。 \end{align}

ということで-1.96≦Z≦1.96の範囲（採択域）に入っているので（図1）、標本平均の9.1cmというずれはそれほどめずらしくなく起こることなので、帰無仮説「平均成魚サイズmは8cmである。」を否定するほどのこともない（採択される）、という結論になりました。もし-1.96≦Z≦1.96の範囲外（棄却域）なら、5%以下の低い確率でしか起こらないことが起こっているのだから、これはむしろ最初の仮定「平均成魚サイズmは8cmである。」の方が間違っていたんじゃないかと判断して、帰無仮説が棄却されて対立仮説「平均成魚サイズmは8cmではない。」が採択されます。これはあくまでこっちの方が妥当だという判断です。そして「帰無仮説が正しいのに棄却してしまう誤り（第一種の誤り）」と「帰無仮説が間違っているのに採択してしまう誤り（第二種の誤り）」の可能性を捨て去ることができません。具体的な利用ではこのことを決して忘れてはいけないのですが、高校数学の範囲では、こんな話があったなくらいでよいので記憶に留めておいてください。

母平均の仮説検定では正規分布を利用しました。検定したい値によって分布が異なるので、それに合わせて多様な検定方法があります。また現実の問題に仮説検定を適用するには、帰無仮説と対立仮説を検証可能な現実的な仮説に設定する必要があって、けっこう難しいです。こちらは大学の卒論などで実体験してみてください。

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