定積分が表すもの

前回は定積分の計算についてでした。今回は、後回しにしていた、定積分が何を表すのかについてです。結論を言うと、定積分の値は、積分関数、x軸、積分範囲に囲まれた面積を表します（面積計算に関する注意点は次回）。定積分の式を見ながら意味を考えてみます。

\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) dx \end{align}

積分記号∫（インテグラル）は合計sumのsから取られた記号だそうです。なので定積分の式は、積分範囲aからbまで、関数f(x)に微小なxの量dxをかけたものを足し合わせますよ、という意味です。図1のように、f(x)dxは細長い長方形の面積であり、これをaからbまでの範囲で足し合わせれば、f(x)、x軸、積分範囲のx=a、x=bで囲まれた面積とよく似た値になってくれそうです。ここでdxの値をどんどん狭めていけば、ほぼ面積と一致してくれると期待できます。このように考えれば定積分が面積の近似式になっていることは、問題なく理解できると思います。

問題はこの計算が関数f(x)の不定積分を使って計算できる、ということの理解が難しいことです。不定積分は微分の逆操作なので、その関数を積分して面積が得られるということは、面積の微分がその関数になっているということでもあります。このあたりの事情を感覚的に理解できればよいのですが、普通の人間では無理です（数学者は感覚的にわかるんだろうか？）。証明は大学レベルの数学が必要なのでここでは省略させてもらいます。数学では、感覚的によくわからない、人が考えても見つけられない関係でも、正当な手続きで得ているならば、自明なものとして使えます。このことによって多様な分野で利用されているのであり、それをよく示してくれている事例です。数学に興味のある方は微分積分の入門書レベルの本を読んでみるとよいと思います。ひとまず高校数学では定積分の式が何を示しているか知っておけば問題ありません。

ここでは定積分の計算と図形的に計算した面積とが一致することを確認して終わりにします。図２の色部分の面積は、下の長方形と上の三角形にわければ簡単に6という値が求められます。定積分の計算をすると下のように6になって一致します。

\begin{align} \int_{0}^{2} (2x+1) dx = [x^2 + x]_0^2\\ (2^2+2)-0=6 \end{align}

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