空間における平面と直線の方程式

三次元空間における平面や直線の方程式は、ベクトルを使う方が考えやすいです。平面と直線の順にベクトルでどう表現できるか見てみましょう。

１．ベクトルによる平面の式の導出

ベクトルで三次元空間上の平面を考えるには、平面の法線ベクトルと平面上の動点の内積を取るのが考えやすいです。法線ベクトルnベクトル=(a, b, c)、平面上の点A(x₁, y₁, z₁)、平面上の動点をP(x, y, z)とおくと、APベクトルとnベクトルは直交するので内積を取ってAPベクトル・nベクトル=0です（図１）。

この内積の式を変形していくと、下のようになります。

\begin{align} \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{n}=0\\ (\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}) \cdot \overrightarrow{n}=0\\ \{(x, y, z) – (x_1, y_1, z_1)\} \cdot \overrightarrow{n}=0\\ (x-x_1, ~y-y_1, ~z-z_1) \cdot (a, b, c) = 0\\ a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0\\ ax+by+cz-ax_1-by_1-cz_1=0\\ ax+by+cz+d = 0 (d=-ax_1-by_1-cz_1)…①\\ \end{align}

最後①式が平面の式で、ベクトルだけでなく三次元空間での平面の一般形になっています。平面の式がどうなるかを頭で考えて見つけ出すのは難しいですが、直交するベクトルの内積は0になることを利用すると、こんなふうに条件の式を変形していくだけで平面の式を見つけることができます。

２．直線のベクトル式

空間での直線の式は、平面上の直線と同じように表現できます。直線の方向ベクトルをnベクトル(a, b, c)、直線上の定点A(x₁, y₁, z₁)、動点P(x, y, z)とおくと、原点を始点として直線lの式は、

\begin{align} \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{n}…② \end{align}

となります（図２）。

関連ページ：直線のベクトル方程式

②の式の形で十分なのですが、方向ベクトルの実数倍を示すtを用いて、媒介変数表示と呼ばれる形式でも示すことができます。②式より

\begin{align} (x, y, z)=(x_1, y_1, z_1)+t(a, b, c)\\ =(x_1+ta, ~y_1+tb, ~z_1+tc)\\ よってx=x_1+ta, ~y=y_1+tb, ~z= z_1+tc\\ tについて解いてt=\frac{(x-x_1)}{a}, ~t=\frac{(y-y1)}{b}, ~t=\frac{(z-z1)}{c}\\ tを媒介として三つの式を接続すると\frac{(x-x_1)}{a}=\frac{(y-y_1)}{b}=\frac{(z-z_1)}{c}…③\\ \end{align}

と表せます。③式は三次元空間での直線の一般的な表現式でもあります。

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