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三角形の面積とsin

sinの値を使って三角形の面積を求めることができる場合があります。簡単でわかりやすい式なので紹介しようと思います。それから三角形の内接円の半径を用いて三角形の面積を表現できます。これらを用いて三角形の内接円の半径を求めることができるので、最後に一題やってみることにします。

二つの辺の長さとその間のsinの値がわかると、下の式で三角形の面積を計算できます。

\begin{align} S=\frac{1}{2}bc \sin A…① \end{align}

図１においてb・sinAは高さhにあたるので、式①は底辺（c）×高さ（b・sin A）×1/2の三角形の面積の公式そのものです。このことを一度理解しておけば覚えなくても①の式をその場で作ることもできます。

次に図２に示すように、三角形の三辺と内接円の半径rがわかっている場合に、三角形の面積は下の式で表現できます。

\begin{align} S=\frac{r(a+b+c)}{2}…② \end{align}

円の中心から円と接線の交点に線を引くと直角に交わる、という性質を使うことで簡単に②の式を作ることができます。h1（半径r）とaは垂直に交わっているので、h1=rを高さ、aを底辺と考えれば三角形の面積S1=a×r×1/2です。同様にしてS2=b×r×1/2、S3=c×r×1/2です。三角形の面積Sはこの三つの三角形の面積を足し合わせたものなので、計算すると下のようになります。

\begin{align} S=S_1+S_2+S_3\\ =\frac{ar}{2}+\frac{br}{2}+\frac{cr}{2}\\ =\frac{ar+br+cr}{2}\\ =\frac{r(a+b+c)}{2} \end{align}

こちらも一度理解しておけばその場で②式を導き出せるので、特に覚えなくても大丈夫でしょう（もちろん覚えて使ってもらってもかまいません）。

最後に上の二つを使って、図３の三角形の内接円の半径rを求めてみます。

条件として角Aは鋭角としています。今bとcとsinAがわかっているので、この三角形の面積Sは①式を用いて求めることができます。次に②式でrを含む形で面積Sを表現できれば、同じ三角形の面積なのでどちらの式でも等しい値であり、これを条件として満たすrを求めれば、これが求めている内接円の半径rの値です。具体的にやってみます。

\begin{align} 三角形ABCにおいてその面積Sは\\ S=\frac{1}{2}bc\sin A\\ =\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{6}\cdot7 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\\ =7\sqrt{2}…①\\ cos^2A=1-sin^2A\\ =1-(\frac{1}{\sqrt{3}})^2\\ =1-\frac{1}{3}\\ =\frac{2}{3}\\ よってcosA=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\\ =\frac{\sqrt{6}}{3}(∵Aは鋭角よりcos A\geq{0})\\ 余弦定理より\\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\ =(2\sqrt{6})^2+7^2-2\cdot2\sqrt{6}\cdot7 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}\\ =24+49-\frac{2\cdot2\cdot6\cdot7}{3}\\ =73-56=17となり\\ a=\sqrt{17}(∵a>0)\\ 内接円の半径rを用いると\\ S=\frac{r(a+b+c)}{2}\\ =\frac{r(\sqrt{17}+2\sqrt{6}+7)}{2}…②\\ 同じ三角形の面積なので①=②より\\ 7\sqrt{2}=\frac{r(\sqrt{17}+2\sqrt{6}+7)}{2}\\ したがってr=\frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{17}+2\sqrt{6}+7} \end{align}

途中②の式を使うために余弦定理を使ってaを求めてます。いくらか面倒な計算を経ましたがrの値が求まりました。適当に値を決めて三角形を作ったので、ぱっと見でどれくらいの値か見当もつかない値がでてきてしまいましたが、関数電卓で計算したらrは1.2くらいです。

内接円の半径を求める機会がこの先にあるかは定かではないです。しかしrを求める過程、つまり「ある一つの量を求めたい値を含む式で表現し、その式を条件式として方程式を解いて求める」ことはよく使うので、高校数学の問題で練習をしておいても損はしないと思います。
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余弦定理

正弦定理の次はcosに関連する余弦定理についてです。余弦定理は三角形の辺の長さと角度の関係についての法則です。

図１の三角形をもとに、余弦定理を示すと以下になります。

\begin{align} a^2=b^2+c^2-2bc\cos A…①\\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos B…②\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C…③\\ \end{align}

複雑で覚えづらい形をしていますが、この式を完全に覚えてしまう必要があります。三角形の二辺とその間の角の関係から残り一辺の長さがわかる、そんな形の定理だと思うと少し覚えやすくなります。三つともよく似た形で法則性があるので、一つ覚えれば残り二つは簡単に覚えられるでしょう。

cosの形に変形した次の形もあります。

\begin{align} \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\ \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \end{align}

こちらは3辺の長さがわかればcosもわかる、そのような形になっています。上のものを式変形して簡単にでてきますので特に覚えなくても大丈夫です。実際には問題をたくさん解いていると自然と覚えていたりします。

証明はけっこう面倒くさくて教科書とかには載っていないかもしれません。気になる人はネットで調べてみてください。

一題だけ具体例を解いてみます。

図２の三角形ではcの値がわかっていません。このcの値を余弦定理で求めることができます。cの値を求めたいので③の式を使えばよいように思えますが、cosCがわかっていないので使えません。かわりにaとcosA（cos30°=√3/2）がわかっているので①の式を使ってcを求めることができます。値を①式に代入して計算してみます。

\begin{align} a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\ 2^2=\sqrt{3}^2+c^2-2\sqrt{3}c\frac{\sqrt{3}}{2}\\ 4=3+c^2-3c\\ c^2-3c-1=0\\ c=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}\\ c>0よりc=\frac{3+\sqrt{13}}{2}（∵\sqrt{13}>3）\\ \end{align}

代入して計算していくと二次方程式の形になりました。これを解いて±両方の値が出てきますが三角形の辺の長さなので+の(3+√13)/2がcの値と決まります。

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正弦定理

正弦定理と余弦定理と呼ばれる、三角比と関係する法則があります。話の流れ自体は単純で、こういう定理がわかっていてこれを使ってわかってない辺の長さとかがわかるので、具体的に使って見つけてみましょう、ということです。ただし結構複雑な式なので、ある程度練習しておかないと使うのが難しいです。このページではsinに関係する正弦定理の方を示します。

正弦定理は次の通りです。

\begin{align} \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}= 2R…① \end{align}

Rは三角形ABCの外接円の半径です。図で示すと図１のようになります。

証明はネットにも上がってますし気になる人は探してみてください。最初に言った通り、こういう便利な法則が見つかってるから覚えて使ってみる、くらいでかまいません。

図２で正弦定理を具体的に使ってみます。

正弦定理は等号が三つも連なってますが、その都度使う部分を抜き出して使います。たとえば外接円の半径がわかっていてsinAの値がわかっているときは①式の中から
a/sinA=2R…②のところを抜き出して使います。両辺にsinAをかけるとa=2R・sinAになるので、半径とsinAの値を代入すればaの長さがわかります。図２で半径R=3、sinA=1/2なのでこれを代入してa=3になります。

②はaとsinAと2Rで成り立っているので、この三つのうち二つがわかれば残り一つがわかりました。a/sinA=b/sinB…③の部分は4つの成分で成り立っているので、このうち３つがわかれば残り一つがわかります。はじめからわかっているsinAとbに加え、今aの長さがわかったので、a=3を③に代入して式変形するとsinB=1/√2になります。sinB=1/√2をみたすBは45°と135°の二つです。場合によっては片方しか条件を満たさず一つの三角形に決定しますが、図2は両方満たしていて二つ三角形ができます。三角形ABCはB=45°の場合で、点線の三角形AB’C’がもうひとつの三角形です。

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三角方程式

ある値の三角比となる角度を求めることを、三角方程式を解くといいます。たとえばsinθ=1/2（0°≦θ≦180°）となるθは30°と150°です。このときsinθ=1/2が三角方程式の一つであり、θ=30°，150°がその解です。これも半円上の直角三角形を思い描いて、その比となる角度を答えれば簡単に求めることができます。図１に主要な直角三角形とその比を示しています。

この比をもとにしてcosθ=1/2の解は、cosθ=x/rが1/2となる直角三角形を探すとわかります。図１(c)の直角三角形はr=2、x=1なのでcosθ=x/r=1/2となり、このときの角度θ=60°がこの方程式の解です。cosθ=-1/2なら図１(d)の直角三角形よりθ=120°です。

注意点として、sinは鋭角も鈍角も正の値なので、同じ三角比となる角度が鋭角と鈍角の両方出てきます。そして双方がその三角方程式の答えです。それからθ=0°、90°、180°のときは直角三角形ができないので、三角比の定義式をもとに探してみてください。たとえばsinθ=0ならsinθ=y/r=0なのでyの値が0のときであり、θ=0°，180°がその答えです。

表1に主要な三角方程式の値を載せておきます。この表を覚えて利用してもよいですが、上で言った方法で三角方程式は解けるので、特にこの表を覚えなくても大丈夫です。

θ	sinθ	cosθ	tanθ
0°	0	1	0
30°	1/2	√3/2	1/√3
60°	√3/2	1/2	√3
90°	1	0	なし
120°	√3/2	-1/2	-√3
150°	1/2	-√3/2	-1/√3
180°	0	-1	0

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