ベクトルの成分表示と単位ベクトル

すでにベクトルの成分表示に言及してますが、もう少し補足説明を行っておきます。平面のベクトルを考えるとき、できるだけ簡単で考えやすいように、基準となる軸が直角になるように二つとります(本当は直角でなくてもよい)。x軸と平行で大きさ1のベクトルをe1ベクトル、y軸と平行で大きさ1のベクトルをe2ベクトルとおくと、この二つのベクトルの実数倍のベクトルの組み合わせで、一つの平面ベクトルを表現できます。具体例で見た方が早いでしょうから、図1(a)を見てください。

3e1ベクトルと4e2ベクトルの組み合わせで、aベクトルが表現できます。このベクトルを成分で表現するとaベクトル=(3, 4)です。e1ベクトルとe2ベクトルもそれぞれe1ベクトル=(1, 0)、e2ベクトル=(0,1)と成分表示できます。

\begin{align} 3\overrightarrow{e_1}+4\overrightarrow{e_2}=3(1, 0)+4(0, 1)\\ =(3×1+4×0, ~3×0+4×1)\\ =(3, 4)\\ \end{align}

となりaベクトルと一致します。このようにaベクトル=(3, 4)は3e1ベクトルと4e2ベクトルを足したものと考えることができます。各ベクトルの大きさは平面上の大きさで定義されていて、aベクトルの大きさは

\begin{align} \sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}\\ =5 \end{align}

です。ベクトルの大きさは絶対値記号を使って表現することになっていて、aベクトルの大きさは下のように表現します。

\begin{align} \left|\overrightarrow{a}\right| \end{align}

また、大きさ1のベクトルを単位ベクトルと呼びます。aベクトルと同じ向きの単位ベクトルは、aベクトルをaベクトルの大きさで割ればよいので

\begin{align} \frac{\overrightarrow{a}}{\left|\overrightarrow{a}\right|} \end{align}

と表現できます。図1(a)のaベクトルの単位ベクトルは図1(b)のようになります。単位ベクトルはx成分とy成分がそれぞれ0から1の間に収まってくれるという特徴があって、工学分野などでよく利用されます。しかし高校数学ではあまり利用されなくて、とりあえずは知識として知っておけば大丈夫でしょう。

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ベクトルの演算規則

前回ベクトルがどういうものとして定義されているか説明しました。一つ忘れていたのが、ベクトルは自由に平行移動可能だという性質をもつことです。場所を固定して考える位置ベクトルもあるのですが、いったんそうさせてください。それで今回は、ベクトルの記述と演算規則についてです。

1.ベクトルの実数倍

前回述べた通り、ベクトルは「向きと大きさを持つ量」です。ここから次の二つの規則がそのまま生まれてきます。

  1. あるベクトルに実数をかけると、もとのベクトルに対して大きさが実数倍になる。
  2. あるベクトルに-1をかけるとベクトルの向きが逆になる。

説明のためにベクトルの実数倍に関する記述方法を示しておきます。

\begin{align} k\overrightarrow{AB} \end{align}

のようにABベクトルの頭にkをつけることで、ABベクトルのk倍のベクトルを表現します。
-ABベクトルならABベクトルの-1倍で、2ABベクトルならABベクトルの2倍です。-ABベクトルはABベクトルに-1をかけているので、この二つのベクトルの関係は図1(a)のような同じ大きさで逆方向のベクトルになります。始点がB、終点がAに変わっているのでBAベクトルでもあります。また2ABベクトルは図1(b)のようにABベクトルと同じ向きで2倍のベクトルです。

2.ベクトルの加算と減算

次はベクトルの加算と減算についてです。先に数式表現を下に示します。

\begin{align} 1. 加算:\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\\ 2. 減算:\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB} \end{align}

式だけ見るとなにがなんだがわからない計算規則だと思います。まず加算から見ていきましょう。

2.1 ベクトルの加算

加算は図2のように図示できます。前回でも述べましたが、ベクトルは平行四辺形の対角線との関係で考えるといくらか理解しやすくなります。図2のようにABベクトル(aベクトルとします)とBCベクトル(bベクトルとします)を加算するとき、この二つのベクトルを使って平行四辺形を作り、その対角線が加算された後のベクトルになります。二つのベクトルを足すときは、一つ目のベクトルの始点から二つ目のベクトルの終点をつなぐ一つのベクトルになる、と覚えるとよいでしょう。

この加算の規則はベクトルを成分表示してみればよくわかります。図2の二つのベクトルを成分表示するとaベクトル=(4,1)、bベクトル=(-1,3)です。直交するxとyの軸に分けているのだから、xはx、yはyで分けて加算を考えればよさそうです(図3)。

aベクトルのx成分は4でbベクトルのx成分は-1なので、これを足し合わせて4+(-1)=3です。aベクトルは水平方向では右向き(正方向)で大きさ4、bベクトルは水平方向では左向き(負方向)で大きさ1なので、右向きと左向きを足すので大きさが打ち消して、aよりは小さい大きさ3の右向きとなります。また、aベクトルのy成分は1でbベクトルのy成分は3なので、これを足し合わせて1+3=4です。aベクトルもbベクトルもy成分は上向き(正方向)なので、上向きと上向きを足してさらに大きくなって上向きに4です。成分ごとに加算した結果はaベクトル+bベクトル=(3,4)となり、図2のACベクトルと一致しています。

2.2 ベクトルの減算

ベクトルの減算も成分表示で考えることができるのですが、せっかく加算で図形的に足して一つになると示せているので、ここでは図形的に考えてみることにします。-bベクトルというのはACベクトルと同じ大きさの逆向きのベクトルなので、CAベクトルです。

\begin{align} \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{AC})\\ =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA} \end{align}

ということなので、図4のCAベクトルをBを始点にして平行移動すると、この二つのベクトルの減算結果は、加算の規則(図2)を適用して、ADベクトルになるのがわかります。

結果としてできたこの図形は平行四辺形になっているので、ADベクトルはCBベクトルと平行で同じ大きさです。したがってADベクトル=CBベクトルより、ABベクトル-ACベクトル=CBベクトルになります。平行移動しても同じベクトルということは交換法則がなりたっていることを示しているので(図5)、次に計算するときはABベクトル+CAベクトル=CAベクトル+ABベクトルのように順番を入れ替えて、始点と終点よりCBベクトルだと考えた方が見つけやすいかもしれません。

\begin{align} \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{AC})\\ =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\\ =\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\\ =\overrightarrow{CB} \end{align}

3. ベクトルの演算規則

最後にベクトルの計算法則とベクトルの平行の記述方法をまとめておきます。

\begin{align} \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\\ (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\\ (kl)\overrightarrow{a}=k(l\overrightarrow{a})\\ (k+l)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{a}\\ k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}\\ ベクトルの平行:\overrightarrow{a}/\!/\overrightarrow{b} (ただし\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0},\overrightarrow{b}\ne\overrightarrow{0})\\ ベクトルの平行条件:\overrightarrow{a}/\!/\overrightarrow{b}\rightleftarrows \overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a} \end{align}

これらの規則は交換法則や分配法則とそれに関係する規則で、これまでの実数の演算と同じ規則が成り立ちます。ベクトルの定義を振り返ってみれば、この規則が成り立つことに特に違和感は感じないと思います。

またベクトルの減算と加算を成分表示で表すと、aベクトル=(a,b)、bベクトル=(c,d)のとき

\begin{align} \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a, b)+(c, d)\\ =(a+c, b+d)\\ \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(a, b)-(c, d)\\ =(a-c, b-d)\\ \end{align}

のようにそれぞれの成分ごとに数値計算することで求められます。

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ベクトルとは

高校の二年、数Bではじめて出てくる概念ですが(2022年度で高2以上)、考え方自体は中学数学の座標系の中でこっそりと使われています。それから中学理科の力の分解(今は中学ですでに力学が始まっている)のあたりでも出てきました。

そんな風に高校数学のベクトルを習うまえにすでにベクトルを使用しているのですが、あらためて数学のベクトルを学ぶためには、概念からゆっくり考えていく必要があります。ベクトルとは一言でいうと「向きと大きさを持つ量」のことです。ベクトルを「有向線分」という場合もあって、図形的にベクトルを表現すると、図1(a)のような始点と終点を持つ矢印で表現されます。またベクトルの記号表現には何種類かあって、高校数学ではAを始点、Bを終点とするベクトルを

\begin{align} \overrightarrow{AB} \end{align}

のように表現します。ただ、htmlではベクトルの表記が難しくて(上はmathjaxを利用;文中に挿入できない)、ひとまず文中ではABベクトルのように書くことにします。

ベクトルは「向き」と「大きさ」を持っていて、矢印の向いている方向がそのベクトルの向き、矢印の長さがベクトルの大きさです。ベクトルの重要な性質として、二次元以上の多次元で考えること、一つのベクトルを二つ以上のベクトルに分解でき、逆に二つ以上のベクトルを一つのベクトルにまとめることができること、これらが挙げられます。一番簡単な平面ベクトル(二次元)で考えると、図1(b)のABベクトルはACベクトルとADベクトルに分解することができます。分解はどのようなベクトルにでも可能ですが、大きさが0のベクトル(ゼロベクトル)と二つのベクトルが平行なときは除きます。分解は図1(b)のように、元のベクトルが平行四辺形の対角線になるように行います。これらの性質と数量的表現である成分表示との間には密接な関係があります。

ここまで数量的な話を一切してこなかったですが、ベクトルには数値を用いた成分表示があります。平面ベクトルでは、図2のように直交する軸を二つ決めます。

そしてABベクトルをこの軸に沿って分解すると、x軸方向に+3、y軸方向に+4の二つのベクトルに分解できます。

この数値を(3, 4)のように並べて表記したものがベクトルの成分表示です。

またベクトルの大きさは三平方の定理を使って、

\begin{align} \sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{5^2}\\ =5 \end{align}

のように、グラフ上の大きさで表現することができます。ABベクトルはx軸の向きに+3、y軸の向きに+4でできる長方形の対角線の向きで、大きさ5のベクトルですよ、ということをこのABベクトル=(3, 4)という書き方で表現することができます(大きさは別途計算しないといけないですが)。

ベクトルを数量的に表すことができたので、次にベクトルの計算法則を考えることができます。ベクトルには足し算、引き算、そして内積と外積という二つのかけ算が考えられています。ベクトルの割り算は定義されていないようです。それから外積は高校物理の電磁気学で考え方を使っているのですが、計算は大学レベルの話なので高校数学では覚えなくて大丈夫です。次回、ベクトルの記述方式や演算についてまとめる予定です。

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高校数学は本当に必要?

塾講師やってて、やはり高校数学も説明に苦労することは多いです。でも中学数学に比べると説明自体は簡単だったりします。では何に困るかというと、基本事項に挙げられていることがその後どのように必要になってくるかだったりします。情報工学系などの特定の分野で研究していると、まったく使わない高校数学分野が出てきたり、その分野の一部だけ使って他は使わないということはむしろ普通のことです。塾で教えているので大学入試のためという目的はあるのですが、この問題が解ける必要がそもそもあるんだろかと疑問に思うことは多々あって、そうすると教えること自体にためらいが残ってしまいます。

このサイトでは生物学系と情報工学系を出ている自分の経験から、これは知っておいて損はないだろうという内容の説明ページを上げていこうと思います。構成としては必須と思われる項目をまず説明して、それ以外の内容は後でまとめて説明する形にする予定です。ページ作成は順不同で自分の作成したい順で上げていきます。必要な知識が後で説明されることもあるでしょうから、どちらかというと「一通り学習してその分野がよくわからなくて復習したい人」向けのページになると思います。

中学数学ほどではないですが、高校数学も基本は色々な分野で普通に使われるているものです。数学はセンスのない人でもなんとかなるように、という目的で使われていたりするので、理解やその利用に特別なセンスが必要というわけでもないです。もちろん「高校数学レベルなら」ですし、誰でも理解できるなどと言う気はありませんが。

数学が具体的に役に立ってくれる便利な道具であることに間違いはありません。その理解と利用にこのサイトが少しでも役立てたら幸いです。

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力への意志

形而上学的思考様式を克服しようとした試みを、もっとも壮大なスケールで展開したのはニーチェだと言われています。木田元によると、ドイツ哲学にはつねに認識よりは意志を、表象よりは意欲を重視する伝統があるそうで、ニーチェもこの伝統を踏まえた上で、それを乗り越えるかたちで、自分の「哲学」を形成していきます。

1.ニーチェの生涯

まず彼の生涯を簡単に見ておきましょう。ニーチェは1844年にライプチヒ近郊に生まれます。彼は早熟の才能の片鱗を示しており、ボン大学の神学部に入り青春を謳歌するのですが、この時期に梅毒に感染してしまいます。一年後、心を入れかえてライプチヒ大学に移り、古典文献学に専念します。

ニーチェはライプチヒ時代にショーペンハウアーとリヒアルト・ワーグナーの呪縛と言っていいほどの多大な影響を受けます。当時、古典文献学徒としてすぐれた才能を発揮したニーチェは二十五歳になる直前という若さでバーゼル大学に助教授として招かれます。古典文献学者としてのニーチェの専攻領域は、通常「ギリシア悲劇」と呼ばれている芸術様式が成立してくる時代です。これは「フォアゾクラティカー」たちの活躍した時代と重なります。

ニーチェの処女作『音楽の精神からの悲劇の誕生』は、精緻な実証を売り物にしていた当時の古典文献学の論文のスタイルを大きく逸脱していました。当時のヨーロッパでは、古代のギリシア芸術の特徴から、古代ギリシア人は晴朗で楽天的な民族だと思われていました。しかしニーチェは、古代ギリシア民族の奥底には激情的で暗い厭世主義が横たわっていて、それを克服するために華々しい造形芸術を創造したのであり、それら二つの相反する原理が調和を実現したときに、「悲劇」という様式が成立したと主張しました。

この著書に対しては痛烈な批判がくわえられ、古典文献学界からいわば葬り去られることになりました。健康状態の悪化もあって、1879年にはバーゼル大学を辞め、年金をたよりに在野の思想家として生きてゆくことになります。このころからワーグナーやショーペンハウアーの呪縛から解き放たれ、独自の思想を模索し始めます。

1880年代に入ってまず、『ツァラトゥストラはこう語った』を完成し、今度は本格的に「哲学的主著」の執筆にとりかかるのですが、89年に精神的危機によりその活動は停止されてしまいます。彼は1900年まで生きるのですが、彼の思想的営みは、ほぼ1888年いっぱいで終わったとみれます。

2.生成する自然

2.1 力への意志

ニーチェはヨーロッパの哲学を本質的にはプラトン主義だとみなしていて、ヨーロッパの形而上学の歴史をニヒリズムとしてとらえようとしていたようです。彼によると、これらの哲学は肉体から分離された精神にのみ近づきうる超自然的原理を設定し、それとの関連において自然界のもろもろの存在者の存在を理解していました。ヨーロッパ文化はこうした形而上学にもとづき、自然から離脱する方向で形成されてきたのですが、形而上学的原理が本当に存在するわけではないので、いくら追い求めてもそこに行きつくことはありません。その徒労に疲れて、ヨーロッパ文化が全体として指導原理を失ったところに、19世紀中葉のニヒリズムが生まれてきた、彼はそのように考えました。このニヒリズムの克服が彼の哲学的主著の主題となります。

ヨーロッパのニヒリズムは西洋形而上学によって「自然」が単なる素材に貶められてしまったことに起因しているので、生成原理をそれ自身に内包する生きた自然を回復することで成し遂げられるはずです。「力への意志」とは、そのような生きた自然の「生」を言い表すために使用された言葉です。ところでショーペンハウアーの「生(レーベン)」、「意志」の概念も類似の意味を持ちます。しかし彼が「意志」と呼んでいるのは人間の意志のようなものではなく、すべての生命が持つ生への衝動のようなものです。彼にとっては、生命の世界は方向性を持たない衝動の世界であり、それに対してニーチェが「力への意志」の言葉で示そうとしたのは、「生というものはつねに現にあるよりもより強く、より大きくなろうとする、はっきりした方向と内的分節構造をもったもの」(木田元『反哲学史』第十章第三節)という考えです。

2.2 等しきものの永劫回帰

自然に生成という原理を見てとると、世界の様相は永劫に生成し続けながら自分自身に回帰する、という形をとるように思えます。ニーチェは「等しきものの永劫回帰」という言葉でこの事態を示しています。

3.形而上学の克服

ニーチェは人間の認識の本質は、生成している存在者に規則性や形式を当てはめ、それを「図式化」することだ、と考えているようです。ニーチェによれば、認識とは生を確保するために設定された一つの目安にすぎないのですが、伝統的な形而上学はこの設定された価値にすぎない「真理」を超越的存在として実体化して、生をそこに隷従させてきました。そこにニヒリズムが生まれたと考えられます。そうであるならば、いわば捏造された真理へと隷属された自然を、我々の生を可能にしてくれる存在として引き戻す必要があります。

形而上学は精神を肉体から剥離させてしまっているわけなので、肉体を手引きとして新しい存在論を考え出すことが、本来の自然を取り戻す手助けとなってくれるでしょう。ニーチェはこの肉体を手引きとして新たな存在論を成すものを、「芸術」だと考えています。このようにシェリングやマルクスやニーチェのような先駆的な思想家が、西洋形而上学的思考様式を克服しようとしたわけですが、その嫡子といえる技術文明は、むしろ二十世紀に入ってますます猛威を奮うことになります。

4.生成する自然

以上の内容は木田元『反哲学史』第十章第三節を参照にさせてもらっています。一応二冊以上の本は参照にしながらページをまとめているのですが、私に理解できたのはこちらの本のみで、私にこれ以上の哲学的含意の読み取りは難しいです。しかし生成する自然に対するニーチェの思想を、現代の生命理論との関係で考えることならできます。

ニーチェはショーペンハウアーの意志の概念に納得せず、生命のなかにより強くより大きくなろうとする方向性の存在をみてとっています。ニーチェもチャールズ・ダーウィンを参照にしていたらしく、ダーウィンの進化論に対する反論も、ニーチェの力への意志という概念に含まれているようです。

ダーウィンの思想もニーチェのそれと同じくらい誤解されてきたのですが、現在の生物学では概ね原著に沿う形でダーウィンの思想が理解されています。ダーウィンの進化論は、自然の力の流れの中に生命の法則性が生成される様を見出そうとしたものであり、神学を否定するわけではないですが唯物論的な考え方ではあります。ダーウィンは形而上学的な世界の外部にある原理を用いるのではなく、生成され続けることで成り立つものとして生命の流れを記述しようと試みたと思われます。ニーチェは生成する自然の中に、あたかも自明のごとく力の方向性があると見た点において、やはり彼は形而上学者であったと言うべきなのでしょう。

  • 参照文献:木田元『反哲学史』(講談社学術文庫)

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