三角比の180°までの拡張

三角比は直角三角形の辺の比で定義されているので、このままでは0°より大きく90°より小さい角度しか表現できません。そこで半円上の点と半径をもとにして、0°以上180°以下まで表現できるように拡張されます。

図１において、半円上の点と原点を結び、x座標に向かって垂線を下ろします。こうすると直角三角形ができて斜辺が半径r、横の辺の長さがx座標、縦の辺の長さがy座標で表現できます。図１の場合の三角比の値は次のようになります。

\begin{align} \sin \theta =\frac{y}{r}，\cos \theta = \frac{x}{r}，\tan \theta = \frac{y}{x}\\ \end{align}

r、x、yで三角比を表現できれば角度θが0°のときも定義できますし、90°以上180°以下のときも定義できます。

図２でθ=0°のときはx=r、y=0となるので三角比の値は次の通りです。

\begin{align} \sin \theta =\frac{0}{r}=0\\ \cos \theta = \frac{r}{r}=1\\ \tan \theta = \frac{0}{r}=0\\ \end{align}

θ=90°のときはx=0、y=1となるので三角比の値は次の通りです。

\begin{align} \sin \theta =\frac{r}{r}=1\\ \cos \theta = \frac{0}{r}=1\\ \tan \theta ：なし \end{align}

xが0であり、このときtanθ=y/xは「なし」と定義されています。

θ=180°のときはx=-1、y=0となるので三角比の値は次の通りです。

\begin{align} \sin \theta =\frac{0}{r}=1\\ \cos \theta = \frac{-r}{r}=-1\\ \tan \theta =\frac{0}{-r}=0\\ \end{align}

θが90°より大きいとき、x座標が負になるのでcosの値は負になっています。tanの値も90°<θ<180°のとき負になり、180°のときは0になります。

図３にθ=60°と120°の場合を示しています。三角比はあくまで比の値なので、半径rがどの大きさでも角度θが同じであれば三角比は同じ値です。θ=60°のときはよく知っている1、2、√3の比の形になっているのでsinθ=√3/2、cosθ=1/2、tanθ=√3です。θ=120°のときもθ=60°の直角三角形ができるのでこの比を使えばよいのですが、横の辺の長さはx座標であり-1です。実際の図形では長さは正なのですが、この場合は便宜上負の長さも定義している、くらいに考えておいてください。θ=120°の三角比の値は、sinθ=√3/2、cosθ=-1/2、tanθ=-√3になります。xの値が1から-1に変わっているので、cosとtanの値がθ=60°のときの値に-1をかけた値になっています。θ=135°、150°のときもそれぞれθ=45°、30°の直角三角形を、図３のように左右反転した直角三角形で考えてみてください。

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