指数法則

指数関数の前に、乗法に関する法則をまとめておきたいと思います。乗法の形の式計算はいろいろなところで使ってます。乗法公式は中学数学ですでにでてきていて、それを拡張していきます。

まず累乗の性質として、a⁰=1、a^-1=1/aが決められています。そして指数法則は次の通りです。

\begin{align} a\neq0、b\neq0のとき\\ a^m \cdot a^n=a^{m+n}\cdots①\\ (a^m)^n=a^{mn}\cdots②\\ (ab)^m=a^mb^n\cdots③\\ \end{align}

mやnは中学数学では正の整数に限定されていましたが、これを有理数まで拡張可能です。mやnが整数の場合は指数法則は理解しやすいです。たとえばa³×a²なら(a×a×a)×(a×a)のことでaが5個かけられた形なのでa³⁺²=a⁵です。こんなふうに累乗のもとの意味を考えればすぐに理解できますが、有理数へ拡張した場合は理解は困難です。ひとまず有理数でも成立していることが確認できたので使用してみる、くらいで十分です。

たぶん具体例の方がわかりやすいので、具体的な計算例をいくつか示します。

\begin{align} 2^3 \cdot 2^2=2^{3+2}=2^5\\ 2^3 \cdot \frac{1}{2^4}=2^3 \cdot 2^{-4}=2^{3-4}=2^{-1}=\frac{1}{2}\\ 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}=2^{\frac{7}{6}}\\ (3^2)^3=3^{2 \cdot 3}=3^6\\ (3^4)^{-\frac{1}{2}}=3^{-4 \cdot \frac{1}{2}}=3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}\\ (2^{\frac{1}{2}} \cdot 3^2)^2=(2^{\frac{1}{2}} )^2 \cdot (3^2)^2=2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot 3^{2 \cdot 2}=2 \cdot 3^4\\ \end{align}

上でa^7/6とか出てきているのでなんのことかわからないでしょうが、これはaの7乗の6乗根を意味していて、次回これら累乗根の説明をすることにします。