和の法則と積の法則(場合の数) - 趣味で学問

和の法則と積の法則(場合の数)

昔は高校数学でさえ選択だった確率が中学であります。何でもかんでも前倒しでやればいいもんでもないと思いますが、あるものは仕方ないので確率で基本的なことから順に説明しておきます。

まず確率は不確定な度合いを数値的に表現できないかという話で、確実性を重んじる数学の中では異質な分野です。先に言葉をいくつか紹介しておきます。確実に起こることを「必然」、絶対に起こらないことを「不可能」、その間、起こるかもしれないし起こらないかもしれないことを「蓋然」と言います。ただしこれらの言葉は一般的な数学ではあまり使わないですし、確率とは起こるか起こらないかの度合いを0から1の間の数値を使って推し量るためのもの、と理解しておけば問題ないです。起こらないときの確率が0で、必ず起こるときの確率が1、起こるか起こらないかはっきりしないときの確率がその間の値です。起こるか起こらないか半々なら確率は1/2(0.5)で、0に近いほど起こらなくて1に近いほど起こりやすいことを意味しています。

確率の計算式は「その場合の数」/「全通りの数」で計算することができるので、確率を考えるときはまず、場合の数から考える必要があります。「場合の数」の意味はだいたい字面そのままです。サイコロは目が6つあって、一回振ったとき目の出方の「場合の数」はいくらですかと聞かれたら、1から6まで6通りあるので、その場合の数は6通りです。サイコロを一個振るだけなら簡単ですが、二回振るとか条件が複雑になるごとに場合の数の計算は複雑になっていきます。

場合の数の計算方法は確定されたやり方が何個かあって、その中でもっとも重要なものが「和の法則」と「積の法則」です。「和の法則」は、「AまたはB」で表現できるときは、その場合の数は「Aの場合の数+Bの場合の数」になる、という規則です。「積の法則」は「AかつB」で表現できるときは、その場合の数は「Aの場合の数×Bの場合の数」になる、という規則です。こういう基本的な規則ほど説明が難しいのは、他の数学分野と変わりないです。

やっぱり具体例があるとわかりやすいので、具体例で考えてみましょう。A地点からB地点まで行くのに二つの橋があるとします(図1)。

Cの橋を渡った後、道が二つにわかれてどちらに行ってもB地点にたどり着けます。Dの橋を渡った後、道は三通りに分かれていてどの道をいってもB地点にたどり着けます。このとき、AからBまでの道の通り方は、Cの橋を渡ったときの2通りまたはDの橋を渡ったときの3通りなので、2+3=5通りの行き方があります(和の法則)。

今度は橋を渡った後、H地点に共に到着して、その後3通りに分かれているとします(図2)。

このときCを渡ってかつEを通る場合、Fを通る場合、Gを通る場合で3通り(図3(a))、Dを渡ってかつEを通る場合、Fを通る場合、Gを通る場合で3通り(図3(b))、合わせて6通りの行き方があります。ここでC、Dを渡る場合と、E、F、Gを通る場合の二ヵ所に分割して考えてみます(図3(c))。AからBまで、C、Dのどちらかを渡って、かつE、F、Gのどれかを通ることになるので、C、Dの渡り方で2通り、かつE、F、Gの通り方で3通りあるので2×3=6通りの行き方がある、と考えることもできます(積の法則)。

たいてい、なぜか我々はこれで正しいと感じます。なぜそうなるのかこれ以上説明することが難しく、図を見て考えてみてくださいとしか言うことができません。何の問題もなく「そんなの当たり前」と思えたら、特に気にする必要なく次に進んでください。何か納得のいかなさが残る場合は、もう一度図を見て考えてみてください。

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むつきさっち

物理と数学が苦手な工学博士。 機械翻訳で博士を取ったので一応人工知能研究者。研究過程で蒐集した知識をまとめていきます。紹介するのはたぶんほとんど文系分野。 でも物理と数学も入門を書く予定。いつの日か。

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