数学的帰納法

自然数に関する命題の証明方法の一つに、数学的帰納法があります。昔からドミノ倒しに喩えられている方法で、一般的な連続する二つの項の関係が示せれば、n=1のときにそれが成り立てばどの項でも成り立つことをいう方法です。

まず、命題Pを数学的帰納法で証明するときの手順を下に書いておきます。

1. n=1のときPが成り立つことを示す。
2. n=kのときPが成り立つと仮定するとn=k+1のときもPが成り立つ

手順はこれだけです。手順2で成り立つと仮定しているだけなので、これだけだとなぜ証明になるかわかりづらいですが、なんとか説明してみたいです。n=kやn=k+1というふうに文字kを使っているので、この関係はkが自然数であればどの数であっても成り立ちます。n=k+1のときにPが成立するのはn=kに成り立つと仮定したことによってです。しかし実際にn=kのときに成り立つことが示せれば、その仮定を外すことができます。手順1でn=1のときにPが成り立つことを実際に示しているので、手順2で示したことを使って、n=1でPが成り立つことからn=1+1=2でも成り立つことが、仮定ではなく示せます。こうしてn=1とn=2のときにPが成り立つことを示せたので、同じように手順2の結果を用いて、n=2+1=3のときにもPが成り立つことを示せます（図1）。このように一個ずつnの値を増やして順々に次の自然数のときに成立することを示すことができるので、これを無限に行ってどのような自然数でも命題Pが成り立つ、という考え方です。

やっぱり具体例の方がわかりやすいので一題解いてみましょう。問題は「1³+2³+3³+…+n³=1/4・n²(n+1)²を証明せよ」です。

\begin{align} n=1のとき左辺=1^3=1、右辺=\frac{1}{4}\cdot1^2(1+1)^2=1となり成り立つ。\\ n=kのとき与式が成り立つと仮定すると、n=k+1のとき\\ 左辺=1^3+2^3+3^3+…k^3+(k+1)^3=\frac{1}{4} \cdot k^2(k+1)^2+(k+1)^3\\ =\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}\\ =\frac{\{k^2+4(k+1)\}(k+1)^2}{4}\\ =\frac{(k^2+4k+4)(k+1)^2}{4}\\ =\frac{(k+2)^2(k+1)^2}{4}\\ =\frac{(k+1)^2\{(k+1)+1\}^2}{4}=右辺\\ よってn=k+1のときも成り立つ。\\ 以上より、すべての自然数nにおいて成り立つ。 \end{align}

これでΣの公式の一つが証明できました。証明の3行目の右辺では、左辺の1³+2³+3³+…+k³に1/4・k²(k+1)²を代入して導いています。数学的帰納法を用いて証明するときは、右辺にk+1を代入した形を先に空いているところに書いておくとよいです。上なら目標である1/4・(k+1)²(k+1+1)²を先に見つけておいて、これを目指して左辺を変形していくと証明しやすいです。

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