倍角の公式と半角の公式

１．倍角の公式と半角の公式

加法定理を使って倍角の公式と半角の公式を導くことができます。慣れればすぐに計算できるので、公式を覚えるのが苦手な人は練習して導けるようにしておけばよいでしょう。

１．１　倍角の公式

まず倍角の公式を示します。

\begin{equation} \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \\ \cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha -\sin ^2 \alpha = 1-2sin^2 \alpha = 2cos ^2 \alpha – 1\\ \tan 2\alpha =\frac{2tan \alpha}{1-tan ^2 \alpha}\\ \end{equation}

三つとも2αをα+αと考えると、加法定理で導出できます。sinの倍角の公式は次のように導出できます。

\begin{equation} \sin 2\alpha = \sin (\alpha + \alpha)\\ = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha =2sin \alpha \cos \alpha \\ \end{equation}

2αをα+αとして加法定理を適用しています。このことを覚えておけば、sinとcosの倍角の公式は簡単に出てきます。次はcosの場合です。

\begin{equation} \cos 2\alpha = \cos (\alpha + \alpha) = \cos \alpha \cos \alpha – \sin \alpha \sin \alpha\\ = \cos ^2 \alpha -\sin ^2 \alpha…②\\ = 1 – \sin^2 \alpha – \sin^2 \alpha (\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1より）\\ = 1 – 2\sin^2 \alpha…②~’\\ \cos ^2 \alpha -\sin ^2 \alpha = \cos ^2 \alpha – (1 – \cos ^2 \alpha）\\ =2\cos^2 \alpha – 1…②~”\\ \end{equation}

cosは3通りの表現の仕方があって、sin²α+cos²α=1よりcos²α=1-sin²αに変形して②に代入してまとめると②’の形になります。sin²α=1-cos²αに変形して代入してまとめると②”の形になります。

最後にtanです。

\begin{equation} \tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}\\ = \frac{2\sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha – \sin ^2 \alpha}\\ = \frac{\frac{2\sin \alpha \cos \alpha}{\cos ^2 \alpha}}{\frac{\cos ^2 \alpha – \sin ^2 \alpha}{\cos ^2 \alpha}}\\ = \frac{\frac{2\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1-\frac{\sin ^2 \alpha}{\cos ^2 \alpha}}\\ = \frac{2tan \alpha}{1-tan ^2 \alpha}\\ \end{equation}

tanは一番導出が難しいです。上の二行目から三行目で分母分子をcos²αで割るところがわかりづらいですが、tanを作ることを念頭に式を眺めていれば思い浮かぶかもしれません。式変形に自信がない人はある程度計算練習が必要になります。ただしtanの公式は、高校数学ではsinとcosに比べて使う頻度が少ないので、面倒くさいなら飛ばしても別によい気もします。

１．２　半角の公式

次に半角の公式を示します。

\begin{equation} \sin ^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 – \cos \alpha}{2}\\ \cos ^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2}\\ \tan ^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1- \cos \alpha}{1+ \cos \alpha} \end{equation}

これらの公式は倍角の公式を使って導き出せます。まずsinの公式の導出を示します。

\begin{equation} ②’より\cos 2\alpha = 1 – 2\sin^2 \alpha\\ 2\sin^2 \alpha = 1 – \cos 2\alpha\\ \sin^2 \alpha = \frac{1 – \cos 2\alpha}{2}\\ \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 – \cos \alpha}{2}(\alphaに\frac{\alpha}{2}を代入）\\ \end{equation}

最後のαをα/2に変えるところが思いつきづらいです。αは任意の角度なので、αと2αにおける1:2の関係が保たれていれば、α/2とαの形に変えても式としては変わらないです。式変形自体は難しくないですが、こちらもある程度練習しておかないと、この変形の仕方が出てこないかもしれません。

次はcosの公式です。

\begin{equation} ②~”より\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha – 1 \\ 2\cos^2 \alpha =1 + \cos 2\alpha\\ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}\\ \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2}(\alphaに\frac{\alpha}{2}を代入） \end{equation}

sinのときとほぼ同じで②’から出発するか②”から出発するかの違いです。最後tanですが、これは簡単でsinとcosの半角の公式をtan²(α/2)=sin²(α/2)/cos²(α/2)に代入するだけです。といってもsinとcosの半角の公式を出してからじゃないと代入できないのでこれが一番面倒くさいです。やはりtanの半角の公式はあまり使われることがないので、いったん忘れてしまってもよいと思います。

<< 加法定理　三角関数の合成 >>