三角関数の公式１

三角関数のグラフの前に、三角関数の公式を二回に分けて示しておくことにします。三角比のときと同じように、次の三つの公式が成り立ちます。

\begin{align} \sin^2 \theta + \cos^2 \theta=1…①\\ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}…②\\ 1+\tan^2 \theta=\frac{1}{\cos^2 \theta}…③ \end{align}

①は三平方の定理そのものといってよいです。半径1の円で直角三角形を作って考えるので、どの象限でも直角三角形が成り立ちます（図１）。

この直角三角形における横の辺の長さはx座標の値（-1<x<1）なのでxとおいています。同様に縦の長さはy（-1<y<1）とおきます。半径が1なのでcosθ=x/r=x/1=x、sinθ=y/r=y/1=yになります。直角三角形なので三平方の定理が成り立ち、x²+y²=1²=1です。この式に先ほどのx=cosθ、y=sinθを代入すると①の公式が出てきます。

②はx=cosθとy=sinθをtanθ=y/xに代入するだけです。③は②の両辺をcos²θで割ると出てきます。

\begin{align} \sin^2 \theta + \cos^2 \theta=1\\ \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}+\frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}（両辺を\cos^2 \thetaで割る）\\ \tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}\\ \end{align}

ただし②と③はtanθを定義できないθ=π/2とθ=3π/2のときは除きます。
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