三角方程式 - 趣味で学問

三角方程式

ある値の三角比となる角度を求めることを、三角方程式を解くといいます。たとえばsinθ=1/2(0°≦θ≦180°)となるθは30°と150°です。このときsinθ=1/2が三角方程式の一つであり、θ=30°,150°がその解です。これも半円上の直角三角形を思い描いて、その比となる角度を答えれば簡単に求めることができます。図1に主要な直角三角形とその比を示しています。

この比をもとにしてcosθ=1/2の解は、cosθ=x/rが1/2となる直角三角形を探すとわかります。図1(c)の直角三角形はr=2、x=1なのでcosθ=x/r=1/2となり、このときの角度θ=60°がこの方程式の解です。cosθ=-1/2なら図1(d)の直角三角形よりθ=120°です。

注意点として、sinは鋭角も鈍角も正の値なので、同じ三角比となる角度が鋭角と鈍角の両方出てきます。そして双方がその三角方程式の答えです。それからθ=0°、90°、180°のときは直角三角形ができないので、三角比の定義式をもとに探してみてください。たとえばsinθ=0ならsinθ=y/r=0なのでyの値が0のときであり、θ=0°,180°がその答えです。

表1に主要な三角方程式の値を載せておきます。この表を覚えて利用してもよいですが、上で言った方法で三角方程式は解けるので、特にこの表を覚えなくても大丈夫です。

θsinθcosθtanθ
010
30°1/2√3/21/√3
60°√3/21/2√3
90°10なし
120°√3/2-1/2-√3
150°1/2-√3/2-1/√3
180°0-10

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むつきさっち

物理と数学が苦手な工学博士。 機械翻訳で博士を取ったので一応人工知能研究者。研究過程で蒐集した知識をまとめていきます。紹介するのはたぶんほとんど文系分野。 でも物理と数学も入門を書く予定。いつの日か。

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