二次方程式を解く

方程式を解くとは、その式を満たす変数の値を求めることです。中学一年と二年で一元一次方程式と二元一次連立方程式の解き方を練習しました。今度は二次方程式の解き方についてです。二次方程式というのは、変数の最大の次数が２の方程式のことで、xの二次方程式はax²+bx+c=0…①の形で表現できます。結論を先に言うと、大きく分けて次の三つの解き方があります。

(1)平方根を利用する
(2)因数分解を利用する
(3)解の公式を利用する

(1)の方法はすでに平方根のところでやっています。x²=2を満たすxの値は±√2でした。この式は①の式と少し違うように見えますが、a=1、b=0、c=-2のとき①の式はx²-2=0となって、-2を右辺に移項すれば同じ形になります。なのでx²=2のような形の式も二次方程式です。このような形の二次方程式を解くときは、平方根を求めればよいことになります。

もっとも使い勝手がよいのが(2)の因数分解を利用する方法です。例としてx²+5x+6=0…②の二次方程式を解いてみます。左辺は因数分解することができて次のようになります。

\begin{align} x^2+5x+6=x^2+(2+3)x+2\times3\\ =(x+2)(x+3)\\ \end{align}

ということから上の方程式は(x+2)(x+3)=0…②’という形に式変形できます。実はこの形にするだけで方程式の解がx=-2とx=-3の二つだというのがわかります。②’の式は、x+2とx+3をかけると0になる、ということを言っています。二つの数をかけて0になるような場合はどのようなときでしょうか。0というのは特殊な数で、0でない数にある数をかけて0になるのは、かける数が0のときだけです。このことから②’の式を満たすのは、x+2=0かx+3=0のどちらかです（本当は両方0もあり得るのですが今は考えなくてよいです）。x+2=0のときはこの式を満たすxは-2だけです。同様にx+3=0を満たすのはx=-3のときだけです。よって②の方程式の解はx=-2またはx=-3になります。

②の方程式を解く流れをまとめておきます。
x²+5x+6=0…②
(x+2)(x+3)=0 (左辺を因数分解）
これを満たすのはx+2=0またはx+3=0、つまりx=-2またはx=-3がこの式を満たすので、②の方程式の解はx=-2またはx=-3である。

少し特殊な場合でx²-4x+4=0のような場合があります。これも左辺を因数分解して(x-2)²=0と式変形すると、この式を満たすxは2の一つしか出てきません。式の上では(x-2)=0が二重で出てくるので、こういう場合の解を重解と呼びます。

最後が解の公式で、次のようなものです。

\begin{align} ax^2+bx+c=0の解は\\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}（ただしa>0かつb^2-4ac≥0） \end{align}

かなり面倒くさいですが、これは覚えてもらうしかありません。この公式も実は因数分解を利用して得られています。ax²+bx+c=0を次のように無理やり変形して無理数の求め方で公式を導くことができます。下の式変形ができる必要はまったくありませんが、なぜこんな形になるのか気になったのなら、式変形を追ってみてください。

\begin{align} ax^2+bx+c=0（ただしa>0）\\ a(x^2+\frac{b}{a}x)+c=0 \\ a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c=0 \\ a(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a}-c \\ (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\\ (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\ よってx+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} (ただしb^2-4acが0以上)\\ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}\\ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \end{align}

最後、具体例を一つ示します。2x²-7x+4=0の解は、解の公式より

\begin{align} x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\times2\times4}}{2\times2}\\ =\frac{7\pm\sqrt{49-32}}{4}\\ =\frac{7\pm\sqrt{17}}{4}\\ \end{align}

となります。解の公式を使えばどのような二次式でも解を求められるのですが、場合によっては恐ろしく計算が面倒くさくなるので、できるだけ因数分解を利用して解いてみてください。

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