漸化式

数列で連続する項の関係をもとに、一般項を求める操作を漸化式を解くといいます。例えばa_n+1=3a_n + 2（a₁ = 1）のような数列の関係式が漸化式で、一般項を求めるとa_n=2・3^n-1-1 です（求め方は次ページに示します）。ありとあらゆるタイプの漸化式があって大変難しいのですが、基本パターンとなるものが3種類あって、複雑なものもその3パターンになんとか帰着させて解くのが基本です。今回はその基本の3タイプについて、解き方を説明しようと思います。

最初のものが等差数列の漸化式で、a_n+1=a_n+dの形です。a_n+1-a_n=dの形に変形すると、一般的に二項の差がいつもdということなので、これは公差dの等差数列であることを意味しています。なので等差数列の公式を使ってa_nを求めます。例としてa₁=2、a_n+1 = a_n +3の漸化式を解くと下のようになります。

\begin{align} a_n=a_1+(n-1)d\\ =2+(n-1)3\\ =3n-1 \end{align}

次が等比数列の漸化式で、a_n+1=ra_nの形です。ある項に特定のrをかけると次の項になるということなので、公比rの等比数列のことです。これも等比数列の公式を使って一般項を求めます。例としてa₁=3、a_n+1=2a_nの漸化式を解くと下のようになります。

\begin{align} a_n=a_1r^{n-1}\\ =3\cdot2^{n-1} \end{align}

最後が階差数列の形のものです。これは例を示した方がわかりやすいでしょう。例えばa_n+1-a_n=2n+1（a₁=1)のようなタイプで、二項間の差がnを用いた式になっています。ちょっとわかりづらいですが、二項間の差が2n+1という規則性を持った形で表現されているので、階差数列とみなして一般項を求めることができます。解いてみると下のようになります。

\begin{align} n≧2以上のときa_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k \\ =1+\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1) =1+2\sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1 \\ =1+2\cdot\frac{n(n-1)}{2}+n-1\\ =1+n(n-1)+n-1\\ =n^2\\ n=1を代入して1^2=1=a_1より、a_n=n^2\\ \end{align}

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