等比数列の極限

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目次

• １．数列の極限値
• ２．等比数列の極限
• ３．参照文献

１．数列の極限値

極限を取ったときの収束と発散の場合分けをもう一度示しておきます。

\begin{equation} 収束:\lim_{x \to \alpha}f(x) = \beta\\ 発散: \left\{ \, \begin{aligned} & \lim_{x \to \alpha}f(x) = \infty\\ & \lim_{x \to \alpha}f(x) = -\infty \end{aligned} \right. \\ 極限値なし:「-1, ~1, ~-1, ~1, ~\cdots」など \end{equation}

数列でn→∞のときの極限を考えることができて、やはり収束する場合と発散する場合があります。具体例を四つ示します。

\begin{equation} 一般項a_n=2n-1の場合、a_n=1, ~3, ~5, ~7, ~\cdots \\ \lim_{n \to \infty}a_n = \inftyとなり正の無限大に発散\\ \\ 一般項b_n=-n^2の場合、a_n=~-1, ~-4, ~-8, ~-16, ~\cdots \\ \lim_{n \to \infty}b_n = -\inftyとなり負の無限大に発散\\ \\ 一般項c_n=\frac{1}{n}の場合、c_n=1, ~\frac{1}{2}, ~\frac{1}{3}, ~\frac{1}{4}, ~\cdots \\ \lim_{n \to \infty}c_n = \frac{1}{\infty}=0となり収束\\ \\ 一般項d_n=(-1)^nの場合、d_n = -1, ~1, ~-1, ~1, ~-1, ~\cdots\\ \lim_{n \to \infty}d_n は極限値を持たない \end{equation}

上で示したように数列で項数を無限に大きくしたとき、その数列ごとに結果が収束・発散（極限値あり）、極限値なしのいずれかとなります。

２．等比数列の極限

初項a、公比rの等比数列の一般項はar^n-1です。初項a=1として、いくつかrの値を変えて一般項を示すと下のようになります。

\begin{equation} r=2のとき、a_n=1, ~2, ~4, ~8, ~\cdots ,~2^{n-1}\\ \\ r=-2のとき、a_n= 1, ~-2, ~4, ~-8, ~\cdots, ~ (-2)^{n-1}\\ \\ r=\frac{1}{2}のとき、a_n= 1, ~\frac{1}{2}, ~\frac{1}{4}, ~\frac{1}{8}, ~\cdots, ~(\frac{1}{2})^{n-1}\\ \\ r=-\frac{1}{2}のとき、a_n= 1, ~-\frac{1}{2}, ~\frac{1}{4}, ~-\frac{1}{8}, ~\cdots , ~(-\frac{1}{2})^{n-1}\\ \\ r=1のとき、a_n= 1, ~1, ~1, ~1, ~\cdots\\ \\ r=-1のとき、a_n= 1, ~-1, ~1, ~-1, ~\cdots \\ \end{equation}

関連ページ：等比数列

したがって各数列の一般項において、n→∞で極限をとると次のようになります。

\begin{equation} r=2のとき、\lim_{n \to \infty}2^{n-1}=\frac{1}{2}\lim_{n \to \infty}2^{n}=\infty\\ \\ r=-2のとき、\lim_{n \to \infty}(-2)^{n-1}=-\frac{1}{2}\lim_{n \to \infty}(-2)^{n}となり極限値なし\\ \\ r=\frac{1}{2}のとき、\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{2})^{n-1}=2\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{2})^n=0\\ \\ r=-\frac{1}{2}のとき、\lim_{n \to \infty}(-\frac{1}{2})^{n-1}=-2\lim_{n \to \infty}(-\frac{1}{2})^n=0\\ \\ r=1のとき\lim_{n \to \infty}1^n=1\\ \\ r=-1のとき、\lim_{n \to \infty}(-1)^{n-1}=-\lim_{n \to \infty}(-1)^{n}となり極限値なし\\ \end{equation}

一般項のところで示したように、具体的に数列を書いてみれば、収束、発散は簡単に予測できます。r>1だと値がrを掛けるたびに大きくなって無限大に発散します。r<-1だと絶対値は大きくなっていくのですが、+と-が交互に入れかわるので極限値なしとなります。-1<r<1の範囲なら、rを掛けるたびに小さくなっていくので、無限に繰りかえして0に収束します。r=1なら1をかけても変わらないので常に1、よって1に収束です。r=-1のときは1と-1が交互に現れ続けるので極限値なしです。初項aの値により正と負が逆転する場合がありますが、それを除いて公比rによって決まります。

rの値による収束、発散、極限値なしをまとめると次のようになります。

\begin{equation} 1 < rのとき\lim_{n \to \infty}r^{n}=\infty~(発散)\\ r=1のとき\lim_{n \to \infty}r^{n}=1~(収束)\\ -1 < r < 1のとき\lim_{n \to \infty}r^{n}=0~(収束)\\ r \leqq -1のとき振動~(極限値なし) \end{equation}

高校の参考書にも証明がのってたりするんですが、ここでは証明は省略させてもらいます。

３．参照文献

• 参照文献：文栄堂編集部『これでわかる数学Ⅲ』（文栄堂）

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