Σの計算 - 趣味で学問

Σの計算

数列の和を表す記号としてΣがあります。例えば数列anの初項から第n項までの和は、下のようにΣを使って書くことができます。

\begin{align} \sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \end{align}

なぜかnではなくkを使ってakの形でΣ記号を利用することが多いです。Σ記号は下の数字から始めて一つずつ値を増やて足していき、上の数字のところまで足し合わせる規則になっています。

Σの性質として下のものがあります。

\begin{align} \sum_{k=1}^n (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n b_k\\ \sum_{k=1}^n ca_k = c\sum_{k=1}^n a_k \end{align}

どちらもΣ記号の定義から理解可能です。覚えやすい規則なのでそのまま覚えてしまってよいでしょう。気になる人は、具体的に和の形(ca1+ca2+…canなど)にしてながめてみてください。わりと普通に納得できると思います。

Σを使った公式として次のものがあります。

\begin{align} \sum_{k=1}^n k = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{1}{2}n(n+1)\cdots①\\ \sum_{k=1}^n k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\cdots②\\ \sum_{k=1}^n k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots n^3 = \{\frac{1}{2}n(n+1)\}^2\cdots③\\ \sum_{k=1}^n c = c + c + c + \cdots + c (cがn個) = nc\cdots④\\ \end{align}

②と③の公式は覚えづらい形をしていますが、そんなものだと割り切って覚えてみてください。①は等差数列の和の公式から簡単に求められるのですが、その都度計算するのも大変なので、これも覚えてみてください。③は①の二乗の形になっているので、セットで覚えると若干楽になります。④はもとの意味を考えるとすぐに出てくるので、覚えるかその場で考えるかどちらでもよいでしょう。

公式とは違うのですが下の形のものもよく使います。

\begin{align} \sum_{k=1}^n a^k = a^1 + a^2 + a^3 + \cdots a^n = \frac{a(1-a^n)}{(1-a)}\\ \end{align}

一見難しそうですが、実はこれは等比数列の和のことで、等比数列の和の公式を使って計算するだけです。この式のnに1から順に値を入れてみると、a+a2+a3+…anとなり初項aで公比もaの等比数列の第n項までの和なのでSn=a(1-an)/(1-a)です。初項と公比が同じなのでわかりづらくなってますが、等比数列の和のことだと気づけば難しくはないでしょう。

二例ほど具体的な計算をしておきます。

\begin{align} \sum_{k=1}^n (2k^2+ 3) = 2 \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n 3\\ =2\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+3n\\ =\frac{n(n+1)(2n+1)+9n}{3}\\ =\frac{n\{(n+1)(2n+1)+9\}}{3}\\ =\frac{n(2n^2+3n+10)}{3}\\ \\ \sum_{k=1}^n 2^k=\frac{2(1-2^n)}{1-2}\\ =2(2^n-1) \end{align}

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むつきさっち

物理と数学が苦手な工学博士。 機械翻訳で博士を取ったので一応人工知能研究者。研究過程で蒐集した知識をまとめていきます。紹介するのはたぶんほとんど文系分野。 でも物理と数学も入門を書く予定。いつの日か。

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