三角比と辺の長さ

１．三角比の利用

三角比を使ってわかっていない辺の長さを簡単に求めることができたりします。測量とかいろいろに使われていて、高校の学習内容としては力学の力の分解とかで使うことになると思います。

１．１　sinとcosの利用

図１の直角三角形で、斜辺と角度がわかっているので、縦の辺yと横の辺xの長さは下のように計算できます。

\begin{align} y=4 \cdot \sin 30° \\ = 4 \cdot \frac{1}{2} \\ =2\\ x=4 \cdot \cos 30°\\ =4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\ =2\sqrt{3} \end{align}

sinの値は（縦の辺）/（斜辺）で求められていて、この値は斜辺を1としたときの縦の辺の長さ、または縦の辺は斜辺の何倍になっているかを表現しています。sin30°=1/2なので、このとき縦の辺は斜辺の1/2の長さです。斜辺の長さ4でその1/2が縦の辺の長さなのだから、4×(1/2)で縦の辺の長さがわかります。横の辺の長さもcosを用いて全く同様に求めることができます。三角比の表には0°から90°まで1°ずつsin、cos、tanの値がまとめてあるので、この表を使えば30°のような値がすでにわかっている場合以外でも、同様にして辺の長さを求めることができます。

１．２　tanの利用

図2の場合はちょっと求めづらくて、一度下のように三角比の定義から式を立てて、それを解いてみてください。

\begin{align} \frac{3}{x}=tan40°=0.8391（三角比の表より）\\ 3=0.8391x\\ x=\frac{3}{0.8391}\\ \risingdotseq3.6 \end{align}

<< 三角比とは　三角比の180°までの拡張 >>