接線の式 - 趣味で学問

１．接線の式を求める手順
２．接線を求める（具体例）
1. ２．１　関数上の点を通る接線
2. ２．２　関数上にない点を通る接線

１．接線の式を求める手順

微分係数の値は、その関数のその点における接線の傾きを示しています。直線の式は傾きと通る点がわかれば一意に決まるので、微分を用いて関数の接線の式を求めることができます。関数f(x)上の点(a,f(a))でf(x)に接する接線は、次の手順で求めることができます。

接線を求める手順

f(x)の導関数f'(x)を求める。
f'(x)にx=aを代入して、x=aにおける微分係数f'(a)を求める。
接線の傾きf'(a)、通る点(a,f(a))がわかったので、y-f(a)=f'(a)(x-a)として接線を求める。

以上のように手順は簡単です。

２．接線を求める（具体例）

２．１　関数上の点を通る接線

具体例、「f(x)=x³－2x²－3x+1上の点(－1,f(－1))でf(x)に接する接線を求めよ」を解いてみます。

\begin{equation} f'(x)=3x^2-4x-3\\ よって接線の傾きはf'(-1)=3\cdot(-1)^2-4\cdot(-1)-3=4\\ f(-1)=(-1)^3-2\cdot(-1)^2-3\cdot(-1)+1=1より\\ 接線は点(-1,1）でf(x)に接する。\\ 以上より、求める接線はy-1=4\{x-(-1)\}\\ y=4x+5 \end{equation}

グラフにすると図１のようになります。

２．２　関数上にない点を通る接線

もう一題、「f(x)=－x²+3x+6上にない点(-2, 0)を通るf(x)の接線を求めよ」を解くことにします。こちらの問題では接点の座標が与えられていないので、上で示した手順をそのままでは使えません。接点の座標がわからないので、いったん接点を(a, f(a))とおいて接線の式を求め、それが点(－2, 0)を通るとして方程式を解く必要があります。解答は下のようになります。

\begin{equation} f'(x)=-2x+3より、f(x)上の点(a,f(a))における接線の式は\\ y-f(a)=f'(a)(x-a)\\ y-(-a^2+3a+6)=(-2\cdot a+3)(x-a)\\ y+a^2-3a-6=(-2a+3)x+2a^2-3a\\ y=(-2a+3)x+a^2+6\cdots①\\ この接線が点(-2,0)を通ることより、x=-2、y=0を代入して\\ 0=(-2a+3)\cdot(-2)+a^2+6\\ a^2+4a=0\\ a(a+4)=0\\ よってa=0,-4\\ したがって求める接線は①にa=0,-4をそれぞれ代入して\\ y=3x+6,y=11x+22\\ \end{equation}

求める接線が2本、自動で求めることができました。

図で示すと図２のようになります。