条件付き確率
高校数学の確率において理解が難しいものの一つに条件付き確率があります。これはある事象が起こった後、その後に起こる事象の確率が前の事象の結果に左右される場合です。日常的には出来事とはそのようなものに思えますが、あらためて確率として考えると頭が痛くなる事態が待っていたりします。
まずは記号と式の定義を先に書いておきます。事象Aが起こったという条件のもとに事象Bが起こる条件付き確率をPA(B)またはP(B|A)と書きます。どちらもよく使われるのですが、高校数学ではPA(B)が使われることがほとんどですので、このページではこちらを使うことにします。条件付き確率PA(B)は次のように式で表せます。
\begin{align}
P_A(B)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}…①\\
P(A)P_A(B)=P(A \cap B)…②\\
\end{align}
個人的には②の方が覚えやすくて、こちらを覚えておけば両辺をP(A)で割れば①の式も出てくるので、下を覚えて必要があれば式変形するので構わないと思います。②の式では「A∩B」は「Aが起きてAが起きた条件でBが起きる」のと同じという意味が読み取れます。もしAが起きることがBに影響しない、つまりAとBが独立ならP(A∩B)=P(A)P(B)なので、独立な場合の式と比較すると②の式は覚えやすいと思います。
条件付き確率の問題を解く場合、条件付き確率をそのまま考えればあっさりわかる問題と、上記の式をもとに計算していかないといけない場合があります。ここでは条件付き確率をそのまま考えることのできる場合の例を1題示します。
「12本の中に当たりが4本入っているくじがあるとします。AとBがこの順でくじを引くとき、Aがあたる事象をA、Bがあたる事象をBとおいて条件付き確率を考えます。ここではAが当たった条件でBが当たる確率を求めます。」
Bが引くときにはすでにAが引いて当たりを引いているので、11本のくじの中に当たりが3本ある状態で引きます。よってAが当たった条件でBが当たる確率PA(B)は3/11です。気を付ける必要があるのは、PA(B)はあくまでBが当たる単独の場合の確率で、Aが当たってかつBも当たる確率P(A∩B)の場合ではないことです。この確率は②の式で計算でき、P(A∩B)=P(A)PA(B)=(4/12)×(3/11)=1/11となります。これは直観的にも納得のいく計算になっています。式の形から三つ項のうち二つが分かれば残り一つもわかるので、P(A∩B)を求めるのにPA(B)を利用してもよいし、PA(B)を求めるのにP(A∩B)を利用してもよいです。でもこの問題ではP(A∩B)を求めるのが大変で、PA(B)を式ではなく直接考えた方が早いです。
問題を解くだけならこれで終わりでよいのですがもうちょっと考えてみます。Bが当たる確率P(B)はどう考えればよいでしょう。さっきPA(B)を計算したので、これにAが外れた条件でBが当たる確率PAバー(B)を計算して足してやると、P(B)=3/11+4/11=7/11となりそうな気がします。でも12本のうち4本当たり（Aの結果により若干変わりますが）のくじから1本のくじを引いてそれが4/12より明らかに大きな7/11の確率というのは納得がいかないです。
何の考慮が足りなかったかというと、Aが先にくじを引いてしまっていることの考慮です。Bがくじを引くというのは、Aがくじを引いてかつBが続けてくじを引くと考える必要があります。したがってP(B)=P(A∩B)+P(Aバー∩B)の式で考えることになります。計算を下に示します。
\begin{align}
P(A)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\\
P_A(B)=\frac{3}{11}\\
P(A \cap B)=\frac{4}{12}\cdot\frac{3}{11}=\frac{1}{11}\\
P(\overline{A})=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\\
P_\overline{A}(B)=\frac{4}{11}\\
P(\overline{A} \cap B)=\frac{8}{12}\cdot\frac{4}{11}=\frac{8}{33}\\
P(B)=P(A \cap B)+P(\overline{A} \cap B)\\
=\frac{1}{11}+\frac{8}{33}=\frac{11}{33}=\frac{1}{3}\\
\end{align}
計算の結果出てきた値は1/3、つまり先に引くAも後に引くBも結局は同じ確率になる、ということです。Aの結果によりBの結果が変わると言っても、Aの結果は偶然で決まるのだから次に引くBが当たる確率も結局はAと同じく偶然同じ値に決まる、ということを言っていると解釈すれば納得できる気もします。
もう一つ、PB(A)はどうなのか考えてみます。P(A∩B)とP(B∩A)は同じなので、②の式でAとBを入れ替えてP(B)PB(A)=P(B∩A)が成り立つはずです。ところでPB(A)をどう解釈すればよいでしょうか。順番としてはAが先に起こって次にBが起こるので、「Bが起こったとわかった上で先に起こったAの確率」と考えればよさそうです。P(A∩B)=P(B∩A)、先ほど計算したP(B)を使って、PB(A)を計算してみます。
\begin{align}
P(B)=\frac{1}{3}\\
P(B \cap A)=\frac{1}{11}\\
P_B(A)=\frac{\frac{1}{11}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{11}\\
\end{align}
このようにある結果がわかった後で先の確率を推測することが可能です。さらにPB(A)=3/11でPA(B)と同じ値になっています。これもP(A)=P(B)となるのと同じ考え方ができそうですが、なんだかよくわからない感じが残ります。このわからなさは、本当に数学感覚のある人以外は、これからずっと付き合うことになると思います
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